Логарифмический критерий устойчивости Найквиста
Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но также и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты построения таких характеристик и определения по ним запаса устойчивости.
При этом критерий формулируют так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях логарифмической амплитудно-частотной характеристики разность между числом положительных и отрицательных переходов фазочастотной характеристики через линию —180° равнялись – l /2. Здесь l — число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой системы. Пересечение фазочастотной характеристикой линии —180° снизу вверх считается положительным переходом, а сверху вниз — отрицательным.
Для нормального функционирования всякая система автоматического регулирования должна быть достаточно удалена от границы устойчивости, должна иметь достаточный запас устойчивости.
Необходимость этого обусловлена несколькими причинами:
а) уравнения элементов системы, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;
б) при линеаризации уравнения погрешности приближения дополнительно увеличиваются;
в) параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;
г) параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;
д) при эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.
Следовательно, устойчивая по расчету система в действительности может оказаться неустойчивой.
Запас устойчивости необходим еще и для хорошего качества регулирования.
О запасе устойчивости можно судить, прежде всего, по расположению корней характеристического уравнения системы: чем дальше отстоят они от мнимой оси (в левой полуплоскости), тем больше запас устойчивости.
При синтезе системы выбирают такой запас устойчивости, при котором система функционирует устойчиво и с желаемым качеством переходных процессов.
Количественное определение запаса устойчивости зависит от того, какой критерий устойчивости используют. Однако в практике инженерных расчетов наиболее широко применяют определение запаса устойчивости на основании критерия Найквиста, по удалению амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы от точки с ординатами [—1;j0]. Этот факт оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе Δφ и запасом устойчивости по модулю (амплитуде) ΔА (см. рис.7.2).
Для того чтобы система имела запасы устойчивости Δφ и ΔА, АФЧХ ее разомкнутого контура при удовлетворении критерия устойчивости не должна заходить в часть кольца, ограниченного лучами, проведенными из начала осей координат под углами —180° + Δφ и —180° - Δφ и дугами с радиусами 1 + ΔА и 1 – ΔА.
Рис.7.2. Определение запаса устойчивости по АФЧХ
Запасы устойчивости при использовании ЛЧХ определяются по рисунку 7.3.
Рис.7.3. Определение запасов устойчивости по ЛЧХ