Операции над многочленами

Многочлены

Определение 2.1Многочленом (полиномом) называется функция вида .

Коэффициенты многочлена берутся из некоторого числового множества M. Множество всех многочленов с коэффициентами из M обозначим через M (x). В качестве M обычно рассматривается числовое кольцо, либо числовое поле.

С многочленами над числовым кольцом можно проводить операции сложения, вычитания и умножения. Данные операции разобраны в школьном курсе математики. Ясно, что в результате получится многочлен с коэффициентами из этого же кольца. Интересна связь коэффициентов произведения многочленов с коэффициентами сомножителей. Пусть в результате перемножения многочленов и получается многочлен . Тогда , в правой части равенства предполагается, что при и при .

Над многочленами над числовым полем кроме перечисленных операций определена операция деления с остатком.

Теорема 2.1 (Деление многочленов)

При делении многочленов над некоторым полем частное и остаток определены единственным образом.

Доказательство очевидно.

Для деления на двучлен x-a разработана компактная схема деления, которая называется схемой Горнера. Данная схема применяется и для вычислений значения многочлена в точке.

Теорема 2.2 (Безу)

Остаток от деления многочлена f (x) на двучлен x-a равен f (a).