Объединение
А È В — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности
.
с функцией принадлежности
.
Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения , а на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Графическая интерпретация логических операций
Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (Т-нормой) называется двуместная действительная функция Т: [0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
1) Т (0,0)=0; Т (,1)= ; Т (1, )= – ограниченность;
2) Т (,) £ Т (,), если £ , £ – монотонность;
3) Т (,) = Т (,) – коммутативность;
|
|
4) Т (, Т (,)) £ Т (Т (,), ) – ассоциативность.
Простым случаем треугольных норм являются:
– min (,),
– произведение ×,
– max (0, +-1).
Треугольной конормой (Т-конормой или S-нормой) называется двуместная действительная функция S: [0,1]´[0,1]®[0,1], со свойствами:
1) S (1, 1)=1; S (, 0)=; S (0, )= – ограниченность;
2) S (,)³ S (,), если ³ , ³ – монотонность;
3) S (,) = S (,) – коммутативность;
4) S (, S (, )) £ S (S (, ), ) – ассоциативность.
Примеры Т-конорм:
– max (,),
– + – ×,
– min (1, +).
Алгебраические операции
Теперь представим алгебраические операции с нечеткими множествами.
Алгебраическое произведение А и В обозначается А×В и определяется так:
.
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А В и определяется так:
.
На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень a нечеткого множества А, где a – положительное число. Нечеткое множество Аa определяется функцией принадлежности . Частными случаями возведения в степень являются:
– CON(А)= А2 – операция концентрирования (уплотнения),
– DIL(А)= А0,5 – операция растяжения,
которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть А1, А2,…, Аn – нечеткие подмножества универсальных множеств Е1, Е2,…, Еn соответственно. Декартово или прямое произведение А = А1 ´ А2 ´…´ Аn является нечетким подмножеством множества Е = Е1 ´ Е2 ´…´ Еn с функцией принадлежности
.
11 ЛЕКЦИЯ 2 ЧАСА