Скорость точки в криволинейном движении. Дифференцирование переменного вектора

Дифференцирование переменного вектора. Свойства векторной производной.

В полярных координатах переменной величиной является радиус вектор. Рассмотрим операцию векторного дифференцирования.

Рис.11.2

Пусть имеем переменный вектор а, изменяющийся с течением времени по определенному закону. Пусть в моменты времени t, t₁, t₂, t₃ и т.д. значения данного переменного вектора а, а₁, а₂, а₃ и т.д. (рис.11.2) Геометрическое место концов этих векторов называется годографом этого вектора. Например, годографом радиуса вектора r движущейся точки М является траектория этой точки.

Рассмотрим теперь два близких момента времени t и t+Δt. Значения переменного вектора в эти моменты будут и. Соединив точки годографа А и А', из треугольника ОАА' получим:

или

Следовательно, вектор через, то

Переходя к пределу при Δt→0: предел отношения при Δt→0 называется производной от вектора а по аргументу t и обозначается:

Пусть вектор в пределе займет положение, тогда. Так как точка А' в пределе совпадает с точкой А, то прямая АВ превращается в касательную к годографу. Следовательно, вектор направлен по касательной к годографу вектора а.

Производная от данного вектора представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора.

Свойства векторной производной:

1. Если а =const, то

2.

3.

4.

5.

Разлагая вектор а по трем координатным осям, получим:

В этом равенстве координатные орты представляют собой постоянные векторы, так как их модуль и направление с течением времени не изменяются. Проекции вектора а изменяются с течением времени по определенному закону и являются некоторыми скалярными функциями:

, и

Дифференцируя векторное равенство, получим6

Это равенство представляет собой формулу разложения производной по координатным осям. Так как в формуле разложения по координатным осям скалярные коэффициенты при координатных ортах являются проекциями этого вектора на соответствующие оси, то из полученной формулы следует:

,,

Проекция производной данного вектора на неподвижную ось равна производной от проекции этого вектора на туже ось.

Скорость точки в криволинейном движении представляет собой векторную величину, характеризующую для каждого данного момента быстроту движения точки и направление этого движения.

Пусть точка М описывает данную криволинейную траекторию, двигаясь по закону, где дуговая координата этой точки (рис.11.3)

Пусть в момент времени t движущаяся точка занимает положение М на траектории. Пусть через малый промежуток времени Δt (в момент t+ Δt) та же точка занимает положение М'. Тогда или.

Вектор.При приближении Δt к нулю, в пределе направление вектора совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, а модуль его будет равен

Для модуля скорости имеем:

, следовательно,.

Построим вектор, равный отношению изменения скорости к соответствующему промежутку времени Δt:

Этот вектор называется средним ускорением точки за время Δt.

Так как при делении вектора на положительную скалярную величину Δt его направление не изменяется, то направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора.

Предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt→0, называется ускорением точки в данный момент t. Мы будем обозначать ускорение через.

Следовательно,.

Пусть на рис.11.5 а вектор есть вектор, к которому стремится в пределе при среднее ускорение, тогда.

Если проведем из какой-нибудь неподвижной точки О векторы точки М параллельно касательной к годографу скорости в соответствующей точке m.