Распределение выборочных характеристик

Рассмотрим случайную величину x, которая имеет функцию распределения f(x). Пусть x₁, x₂,…, x_n – выборка, состоящая из n значений случайной величины x. Любая величина, вычисленная по этим выборочным значениям, также будет случайной.

Рассмотрим, например, среднее значение выборки . Если из одной и той же случайной величины x извлекают рядразличныхвыборок объёма n, то , вычисленная по этим выборкам, будут, как правило, различаться между собой. Следовательно, выборочная средняя также представляет случайную величину, которая имеет некоторую функцию распределения f(x). Эту функцию распределения называют выборочным распределением выборочного среднего .

Рассмотрим некоторые общие выборочные распределения, часто встречающиеся на практике.

1. Распределение выборочного среднего при известной дисперсии.

Рассмотрим среднее значение выборки объёма n независимых наблюдаемых значений случайной величины x:

.

Исследуем случай нормального распределения случайной величины x сматематическим ожиданием m _x иизвестной дисперсией .

Математическое ожидание выборочного среднего значения составляет:

М[ ] = М[ ] = М[ ] = m _x.

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего значения равно математическому ожиданию случайной величины x.

Кроме того, распределение выборочного среднего значения выборки нормально распределено.

Используя нормированное (гауссово) распределение, выборочное распределение среднего значения выборки можно описать при помощи преобразования:

.

D[ ]= D[ ]=.

(*).

Эта величина имеет нормированное (гауссово) распределение. Исходя из выражения (*), можно сделать следующее утверждение относительно среднего значения выборки до извлечения выборки.

P (> )=a

где - квантиль нормального распределения уровня a.

Необходимо отметить, что это утверждение остаётся справедливым лишь до извлечения выборки, так как после извлечения выборки вероятность того, что превышает некоторую заданную величину, равна 0 или 1.