Вынужденные колебания. Резонанс
Дифференциальное уравнение колебаний.
Затухающие колебания.
Уравнение незатухающих колебаний
Динамика колебательных процессов.
Лекция 16
Пружинный гармонический осциллятор рис.16.1 | Математический и физический маятник рис.16.2 | Идеальный колебательный контур рис. 16.3 |
, | , | |
ma = – kx, | ||
собственная круговая частота | ||
или | ||
Итак, уравнение сводится к виду где y– это угол отклонения j, или смещение х из положения равновесия х, или заряд q Решения данного уравнения | ||
Период колебаний Т = t / N. Частота колебаний n = N / t. w 0 = 2 pn | ||
Амплитуда тока |
Во всех реальных колебательных системах действуют: силы сопротивления (трения). Или, Момент этой силы В колебательном контуре существуют потери энергии на активном сопротивлении R. С учетом этого: | ||
Математический маятник рис. 16.4 | Колебательный контур с последовательно соединенными элементами рис. 16.5 | |
Коэффициент затухания | ||
Собственная частота незатухающих колебаний | ||
Уравнение сводится к виду – однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами | ||
Находим решение с помощью подстановки | ||
Тогда, подставляя, получим характеристическое уравнение затухающих колебаний. | ||
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид | ||
где - корни характеристического уравнения При, | ||
Представим, что где собственная частота затухающих колебаний, | ||
Тогда | ||
Решение диф. уравнения запишем в виде | ||
рис. 16. 6 | рис.16. 7 | |
Частота затухающих колебаний Период колебаний Т = t / N. логарифмический декремент затухания Так как, то или - добротность системы Все параметры выражаются через соответствующие постоянные системы (для маятника или контура) | ||
Например, для контура: , | ||
рис. 16.8 | рис. 16.9 | |||
Пусть вынуждающая сила имеет вид | ||||
Пусть задан момент внешней вынуждающей силы в виде | ||||
Вводя обозначения | ||||
- коэффициент затухания, собственная круговая частота незатухающих колебаний | , коэффициент затухания, собственная круговая частота незатухающих колебаний | |||
Уравнение сводится к виду Или – неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами | ||||
Решение ищем в виде | ||||
Общее решение однородного уравнения(так как это – затухающие колебания) запишем в виде (см. предыдущий вывод) | ||||
Частное решение неоднородного уравнения найдем методом векторных диаграмм. Пустьчастное решение уравнения вынужденных колебаний имеет вид | ||||
Тогда | ||||
Подстановка в диф. уравнение приводит к следующему выражению | ||||
рис. 16.10 | ||||
Из рисунка видно, что | ||||
Для контура. При общим решением однородного уравнения можно пренебречь. Тогда решение ищем в виде | ||||
Производные | ||||
рис. 16.11 | Амплитуда и фаза находятся из рисунка так же, как и для маятника: | |||
Резонанс | ||||
угла отклонения | Напряжений | |||
При малом трении, когда или, приближенное выражение: . | ||||
рис. 16.12 | АЧХ рис. 16.13 | |||
Мощность в цепи переменного тока , но. Или Так как ТОгда закон Джоуля – Ленца для цепей переменного тока Множитель - называется коэффициентом мощносчти и выражает сдвиг фаз между током и внешней ЭДС. Если ввести |