Линейные скорости звеньев ИМ
Соотношения для определения линейных скоростей звеньев получим, продифференцировав выражения для Vi(0) по времени:
i i
Vi(0) = t`i(0) = t`0i ti + S t`0k (vk (1-sk)qk + lk) + S t0j (vj (1-sj)q`j).
k=1 j=1
(Различные индексы суммирования во втором и третьем слагаемых приняты для удобства дальнейших преобразований).
Подставив сюда значения t`0k = l(wk(0)) t0k, получим
i i
Vi(0) = t`i(0) = l(wi(0)) t0i ti + S l(wj(0)) t0j (vj (1-sj)qj + lj) + S t0j (vj (1-sj)q`j).
j=1 j=1
k
wk (0) = S t0jvjsjq`j.
j =1
Получим: i i
Vi(0) = t`0iti + S t`0k(vk (1-sk)qk + lk) + S t0j(vj (1-sj)q`j) =
k=1 j=1
i i k
S l(t0jvjsj) t0iti qj` + S S l(t0jvjsj) t0k(vk (1-sk)qk + lk) qj` +
j=1 k=1 j=1
i
S t0j vj (1-sj) q`j.
j=1
Покажем, что полученное выражение можно представить в следующем виде:
i
Vi(0) = S Dij(0) q`j ,
j=1
где
Dij(0) = l(t0j vjsj) Rij(0) + t0j vj (1-sj)= l(сj(0)) Rij(0) + t0j vj (1-sj),
i
Rij(0) = t0iti + S t0k (vk (1-sk)qk + lk).
k=j
Доказательство.
Для t0j vj (1-sj) все очевидно (из третьего слагаемого выражения для Vi(0)).
l(сj(0)) Rij(0) получается в результате преобразований двух первых слагаемых. Первое слагаемое из выражения для Vi(0) в выражение для Rij(0) переходит непосредственно. Докажем, что второе слагаемое в Rij(0) можно получить, преобразовав второе слагаемое в Vi(0) путем изменения порядка и пределов суммирования.
|
|
В самом деле:
i k i i
S S l(t0jvjsj) t0k(vk (1-sk)qk + lk) qj` = S S l(t0j vjsj) t0k (vk (1-sk)qk + lk) qj` =
k=1 j=1 j=1 k=j
i i
S l(t0j vjsj) S t0k (vk (1-sk)qk + lk) qj`.
j=1 k=j
Пояснение.
До перестановки: k=1, j=1.
k=2, j=1,2.
…
k=i, j=1,2,…,i.
После перестановки:
j=1, k=1,…,i,
j=2, k=2,…,i,
…
j= i, k=i.
Можно видеть, что полученное выражение соответствует второму слагаемому Rij(0) , что и требовалось доказать.
Dij(0) - векторы размера (3х1).
3.6. Свойства векторов Dij(0)
а) Dj(0) - орт оси Zj-1, спроецированный на оси СК0., если j = [ПП].
б) Dij(0) = l(t0j vjsj) Rij(0), если j = [ВП].
г) |Dj(0) | = 1, если j = [ПП].
е) Rij(0) - есть вектор, проведенный из начала СКj-1 к точке на звене i, скорость которой определяется, рассматриваемый в проекциях на оси СК0.
ж) | Rij(0) | - длина вектора, проведенного из начала СКj-1 к точке на звене i, скорость которой определяется.
з) | Dij(0)w | = площади прямоугольника, построенного на векторах сj(0) и Rij(0) как на сторонах. Поскольку |сj(0)| = 1, |Dij(0)w| численно равен длине перпендикуляра, опущенного из конца вектора Rij(0) к линии вдоль вектора сj(0).
Геометрическая иллюстрация свойств векторов Dij(0) и Rij(0) дана на рис.3.1.
Рис.3.1. Векторы Dij(0)w, Rij(0).