Дифракция на круглом отверстии

Дифракцией называется явление отклонения света от прямолинейного распространения в однородной среде, при котором свет, огибая препятствия, заходит в область геометрической тени. Явление дифракции, так же как и явление интерференции, подтверждает волновую природу света. Дифракция возникает в том случае, когда свет падает на препятствия, размеры которых сравнимы с длиной световой волны.

Дать анализ явления дифракции света и объяснить закон прямолинейного распространения света стало возможным на основе принципа Гюйгенса и законов интерференции. В таком объединённом виде это положение волновой оптики получило название принципа Гюйгенса- Френеля.

Принцип Гюйгенса и Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Дифракция на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.

ОПТИКА. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Лекция 2

Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку фронта волны можно рассматривать как самостоятельный источник колебаний. Френель дополнил этот принцип, введя представления о том, что волновое возмущение в любой точке пространства можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн от фиктивных источников, на которые разбивается волновой фронт. Френель впервые высказал предположение, что эти вторичные источники когерентны и потому могут интерферировать в любой точке пространства, в результате чего элементарные волны способны как гасить друг друга, так и усиливать друг друга..

Прямолинейность распространения света. Докажем закон прямолинейного распространения света, исходя из принципа Гюйгенса – Френеля.

Рассмотрим действие световой волны, испущенной из точки А, в какой-либо точке наблюдения В. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника А действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности S. В качестве такой вспомогательной поверхности S выберем поверхность фронта волны, идущей из А (поверхность сферы с центром в точке А). Вычисление результата интерференции вторичных волн упрощается, если применить следующий указанный Френелем прием: для вычисления действия в точке В соединим А с В и разобьем поверхность S на зоны такого размера, чтобы расстояния от краёв соседних зон до точки В отличались на λ/2. Таким образом, имеем:

.

Вычислим размеры полученных таким образом зон, которые впоследствии получили название зон Френеля. Из рисунка 5 для первой зоны следует:

Так как длина волны λ мала по сравнению с расстояниями а и b, то ,

и, следовательно, площадь сферического сегмента, представляющего первую, или центральную, зону Френеля, равна

. (1)

Аналогично можно вычислить площадь второй, третьей и т.д. зон Френеля. Площади этих зон оказываются одинаковыми. Таким образом, построение Френеля разбивает поверхность сферической волны на равновеликие зоны, каждая из которых имеет площадь (1).

Колебания, возбуждаемые в точке В двумя соседними зонами, противоположны по фазе, поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга. Следовательно, амплитуда А результирующих колебаний, возбуждённых волнами, исходящими от всего фронта волны, может быть представлена в виде знакопеременного ряда (2) где А₀ – амплитуда колебаний в точке В, возбуждаемых действием центральной зоны Френеля; А₁ − амплитуда колебаний, возбуждаемых действием первой зоны и т.д. Запишем уравнение (2) в виде (3)

Для дальнейшего вычисления нужно принять во внимание, что действие отдельных зон постепенно (хотя и медленно) убывает от центра к периферии. Произвольное введение этого вспомогательного множителя есть один из недостатков метода Френеля. Отсюда следует, что выражения, заключённые в скобки в (3) положительны, так что А < А₀. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в точке В меньше амплитуды, создаваемой действием одной центральной зоны. Это означает, что действие всей волны на точку В, сводится к действию его малого участка. Длина световой волны λ весьма мала. Поэтому, даже для расстояний b порядка метра, площадь действующей части волны меньше 1 мм². Следовательно, распространение света действительно происходит так, как если бы световой поток шёл внутри очень узкого канала вдоль прямой АВ, т.е. прямолинейно.

Отсюда вытекает, во-первых, объяснение прямолинейности распространения света, и, во-вторых, объяснение ряда явлений дифракции, которые разбиваются на две группы – дифракцию Френеля, наблюдаемую в сферических волнах, и дифракцию Фраунго­фера, наблюдаемую в плоских волнах. В качестве примера дифракции Френеля рас­смотрим дифракцию света на круглом отверстии и круглом экране.

Пусть волна, идущая от точечного источника света, встречает на своём пути экран MN с круглым отверстием. Исследуем явление в точке В, лежащей на линии, соединяющей точку А с центром круглого отверстия (рис. 7).

В зависимости от размера отверстия в нём уложится большее или меньшее число зон Френеля. При небольшом размере отверстия можно учитывать лишь ограниченное число действующих зон. Легко видеть, что если отверстие открывает всего лишь одну зону или небольшое нечетное число зон, то действие в точке В будет больше, чем в отсутствии экрана. Максимум действия соответствует размеру отверстия в одну зону. Если же отверстие открывает четное число зон, то световое возбуждение в точке В будет меньше, чем при свободной волне. Наименьшая освещённость соответствует двум открытым зонам.

Аналогичная картина будет наблюдаться для любой точки, лежащей на линии АВ. Расчёт картины для точек, лежащих в плоскости, перпендикулярной к АВ, в стороне от этой линии, несколько сложнее. Но вследствие симметрии всего расположения вокруг линии АВ распределение света в указанной плоскости должно быть симметрично, т.е. области одинаковой освещённости должны располагаться кольцеобразно около точки В.

Дифракция на круглом экране.

Повторяя рассуждения предыдущего раздела, получим, что амплитуда световых колебаний в В равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной. Если размер экрана невелик, то действие первой открытой зоны Френеля практически не отличается от действия центральной зоны волнового фронта. Мы пришли к парадоксальному на первый взгляд заключению, что в центре геометрической тени должна находиться светлая точка. Вследствие симметрии всей картины относительно прямой АВ светлая точка в В окружена кольцевыми зонами чередующихся тени и света.