Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть узкая щель освещается пучком параллельных лучей, т.е. на неё падает плоская световая волна. Для наблюдения дифракции за щелью нужно расположить собирающую линзу, в фокальной плоскости которой находится экран. Линза сводит все падающие на неё под углом φ параллельные лучи вместе на экране.

Пусть волна падает нормально к площади щели. Разобьём площадь щели на ряд узких параллельных полосок равной ширины. Каждая из этих полосок может рассматриваться как источник волн, причём фазы этих волн одинаковы, ибо при нормальном падении плоскость щели совпадает с фронтом волны. Кроме того, амплитуды наших элементарных волн будут одинаковы, т.к. выбранные элементы имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения φ. Эти два обстоятельства – равенство фаз и равенство амплитуд, – чрезвычайно упрощают решение рассматриваемой задачи.

Для аналитического расчёта интенсивности света, распространяющегося по разным направлениям за щелью, напишем выражение для волны, посылаемой каждым элементом волнового фронта, и просуммируем действие всех элементов. Амплитуда волны, обусловленной одним таким элементом, пропорциональна его ширине dx. Световое возмущение в соответствующем участке щели выразится соотношением

Для отыскания действия всей щели в направлении, составляющем угол φ с первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от различных элементов волнового фронта до пункта наблюдения В_φ(рис. 9).

Проведём плоскость FD, перпендикулярную к направлению нормалей дифрагированных волн. Распределение фаз, которое будет иметь место на этой плоскости, определяет соотношение фаз элементарных волн, собирающихся в точке В_φ, так как линза не вносит дополнительную разность фаз. Таким образом, достаточно определить разность хода, возникающую на пути от плоскости FE до плоскости FD. Разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны при точке F и от какой-либо точки N, есть NP=xsinφ. Световое возмущение в точке Р плоскости FD запишется следующим образом:

(1)

где k=2π/λ – волновое число. Интегрируем выражение (1) в пределах от 0 до b. В точке В_φ результирующее возмущение, имеет амплитуду

(2)

Энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому интенсивность света в точке P на экране:

, (3)

где , . График функции представлен на рис. 10. Условия максимумов и минимумов интенсивности следуют из (3):

а) главный максимум , при этом ;

б) максимумы первого, второго и других порядков , ;

в) минимумы m-го порядка , m=1,2,…К. (4).

Условие (4) определяет направление на точки экрана, в которых амплитуда равна нулю и, следовательно, интенсивность минимальна. Между минимумами располагаются в виде светлых параллельных полос максимумы. Наибольшая интенсивность максимума имеет место при φ=0, когда А_φ=А₀. Величина интенсивности следующих максимумов быстро убывает.