Односторонние пределы. Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0 слева (справа)

Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀ слева (справа), если такое, что | f(x)-A |<ε при x₀ – х < δ (х - х₀ < δ).

Обозначения:

Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х ₀, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.

Доказательство.

1) Если , то и для x₀ – х < δ, и для х - х₀ < δ | f(x) - A |<ε, то есть

3) Если , то существует δ₁: | f(x) - A | < ε при x₀ – x < δ₁ и δ₂: | f(x) - A | < ε при х - х₀ < δ₂. Выбрав из чисел δ₁ и δ₂ меньшее и приняв его за δ, получим, что при | x - x₀ | < δ | f(x) - A | < ε, то есть . Теорема доказана.

Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.