Решение задач динамики точки в системе отсчета связанной с Землей.
Движение снаряда под силой тяжести.
Зависимость плотности нормальной артиллерийской атмосферы от высоты.
Эту зависимость получим, исходя из гипотезы вертикального равновесия атмосферы.
Будем считать, что горизонтальные слои воздуха в вертикальном направлении находятся в равновесии, так что слой воздуха элементарной толщины dy уравновешивается разностью давлений на верхнее и нижнее основание слоя (см. рис.3.1).
Выделим элемент слоя высотой dy и площадью основания S. Вес элемента.
Сила давления на нижнее основание равна
На верхнее основание
.
Из условия равновесия в проекции на ось y следует
Сократив S и “+”P(y);”-”P(y), получаем
(3.2.1)
Или 13.6, где из уравнения состояния (3.1.8) получим
или
(3.2.2)
Из (3.2.2) с учетом (3.1.10), (3.1.11) получим:
ü для тропосферы
Интегрируем в пределах от значений на поверхности Земли h = h0, y = 0 до текущих значений.
(3.2.3)
ü для стратосферы
|
|
Интегрируем от значений hss, yss – давления и высоты нижней границы стратосферы до текущих
(3.2.4)
Если в формулах (3.2.3), (3.2.4) в качестве τ0, h0, G, hss, τss, выбрать параметры нормальной артиллерийской атмосферы, то они зададут распределение давления воздуха в НАА по высоте. Нижняя граница стратосферы имеет параметры hss = 145.4 мм.рт ст., τss = 221.5К0, yss = 12км.
Введем безразмерную функцию, задающую распределение плотности по высоте
(3.2.5)
Учтем, что тогда в тропосфере с учетом (3.2.3) получим,
(3.2.6)
Y | H(y) |
….. | ….. |
34км | ….. |
в стратосфере с учетом (3.2.4), (3.1.11) получим
Для функции H(y) составлены таблицы
(3.2.7)
Вместо таблиц можно использовать аппроксимирующие их зависимости (с точностью 3..5 %), где 1/м;
при м;
при м;
при м.
Или эмпирическую формулу проф. В.П. Ветчинкина
при м
Земля представляет собой сплюснутый с полюсов сфероид. Сжатие Земли с полюсов составляет всего 1/297 от экваториальной полуоси. Поэтому им пренебрегают и считают Землю сферой по среднему радиусу м.
Земля вращается вокруг своей оси с периодом 23h56’45” = 86164c, что соответствует Ω = 7.292-10-5 1/c.
При рассмотрении движения снаряда в системе отсчета, связанной с Землей, в число сил, действующих на снаряд следует включать силы инерции – переносную
и Кориолисов. Переносная сила инерции включает как слагаемое в силу тяжести.
а) Оценим ускорение, сообщаемое снаряду Кориолисовой силой инерции
,
где - скорость снаряда. Положим V = 1000 м/с, а, тогда получим м/с2
Сосчитаем отношение ускорения Кориолиса к ускорению силы тяжести g = 9.81 м/с2
, то есть ускорение снаряда сообщенное силой Кориолиса составляет около 1.5% от g.
|
|
Влияние Кориолисовой силы инерции на движение снаряда может быть заметным при больших скоростях, то есть при стрельбе на дистанции 100 и более км. В этих случаях оно обычно учитывается в виде поправок к результатам расчета траектории без учета влияния силы Кориолиса.
б) Под силой тяжести понимают равнодействующую силы земного притяжения и силы инерции переносного движения (см.рис.4.1)
(4.1.1)
или, после деления на массу снаряда, получим то же соотношение для ускорений
(4.1.2)
Угол λ называется геоцентрической широтой места.
Угол Л называется географической широтой места.
Л
Применив теорему косинусов к рис.4.1, получим
или (4.1.3)
Поскольку, то слагаемое y1 в (4.1.3) не превосходим 1 и можно разложить (4.1.3) в биноминальный ряд
или (4.1.4)
формула (4.1.4) дает приближенную зависимость ускорения силы тяжести от широты места (при ее выводе Земля полагалась сферической и G- постоянным). Оценим значимость второго слагаемого (4.1.4).
Полагая, т.е. беря максимальное значение, получим
м/с2,
относя эту величину к g = 9.81 м/с2, получим
Т.е. отличия ускорения силы тяжести, вызванные наличием центробежной силы инерции, от обычно используемого значения g = 9.81 м/с2 не превышают 0.3%, так что с высокой степенью точности можно пренебрегать зависимостью g от широты места и считать, что совпадает с.
в) Рассмотрим зависимость ускорения силы тяжести g от высоты. Из предыдущего ясно, что g меняется с высотой так же, как ускорение силы притяжения к Земле, т.е. обратно пропорционально квадрату расстояния
(4.1.5)
Полагая разложим (4.1.5) в биноминальный ряд, получим
(4.1.6)
Q точностью до малых второго порядка
(4.1.7)
Для обычных траекторий слагаемое и зависимостью g(y) можно пренебречь, полагая, что g(y)= g= 9.81 м/с2. При стрельбе на большие дальности порядка 200 км высота траектории может достигать 60 км. При этом
,
т.е. влияние зависимости g(y) может быть существенным. В таких случаях она либо учитывается при расчете траектории, либо в результаты расчета траектории при g= const вносят поправку.
Рассмотрим влияние изменения направления силы тяжести на движение снаряда. Оно сводится к появлению горизонтальной составляющей, приводящей к уменьшению горизонтальной дальности X (см. рис. 4.2) максимальное значение достигается в точке падения и равно
При дальности порядка 200 км
Отметим, что уменьшение X за счет изменения направления компенсируется за счет убывания g с высотой, так что в целом влияние зависимости g(y) и изменение направления следует учитывать лишь для дальности более 50 км.