Уравнение движения центра масс снаряда в пустоте. Свойства траектории

Движение центра масс снаряда в пустоте (параболическая теория).

Движущийся в воздухе снаряд подвержен действию двух сил: силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Обычно R>q, но возможны и обратные случаи, когда. Это имеет место при движении снаряда на большой высоте, либо при метании тяжелых снарядов крупного калибра с малой начальной скоростью. В силу этого целесообразно изучить законы движения снаряда при отсутствии сопротивления воздуха.

Основные допущения:

Земля считается плоской, невращающейся, ускорение силы тяжести постоянно по величине и направлению и перпендикулярно поверхности Земли.

Так как вектор начальной скорости и сила тяжести лежат в плоскости бросания, то траектория центра масс снаряда будет плоской кривой, лежащей в плоскости бросания (см. рис. 4.3). В этом нетрудно убедиться.

Составим дифференциальные уравнения движения центра масс. Для этого уравнения движения снаряда спроектируем на оси координат и перепишем в дифференциальной форме

(4.2.1)

или (4.2.2)

Сформируем начальные условия. При (4.2.3)

(4.2.4)

Проинтегрировав (4.2.4) для составляющих скорости, получим с учетом (4.2.4)

; (4.2.5)

Перепишем (4.2.5) в дифференциальной форме

(4.2.6)

Проинтегрировав (4.2.6) с начальными условиями (4.2.3), получим

(4.2.7)

Последнее уравнение (4.2.7) показывает, что траектория центра масс снаряда – плоская кривая, лежащая в плоскости стрельбы.

Из (4.2.5) следует, что при движении снаряда в пустоте горизонтальная проекция скорости остается постоянной и равной ее начальному значению.

Уравнения (4.2.7) представляют собой параметрические уравнения траектории. Исключая t, получим каноническое уравнение траектории

(4.2.8)

отсюда (4.2.9)

иначе где

Или (4.2.10)

Из (4.2.10) следует, что траектория снаряда в пустоте есть парабола с вертикальной осью симметрии, проходящей через точку с координатой

(4.2.11)

Подставив (4.2.11) в (4.2.10) получим высоту траектории

(4.2.12)

Подставив в (4.2.10) координаты точки падения x_c=X, y_c=0, получим горизонтальную дальность при движении по параболической траектории

(4.2.13)

Из (4.2.13) следуем, что наибольшая горизонтальная дальность для данной начальной скорости V₀ может быть получена при т.е. 𝛳₀=45⁰.

При этом (4.2.14)

Время t_s подъема снаряда на максимальную высоту получим, подставив X_s в (4.2.8),

(4.2.15)

Полное время полета снаряда получим, подставив в (4.2.8) X из (4.2.13) с учетом (4.2.11)

(4.2.16)

Выпишем формулы для определения элементов траектории в точке с известной абсциссой X.

Для этого к (4.2.8), (4.2.9) добавим выражение для полученное дифференцированием (4.2.9) и выражение величины скорости

а также выражение для вертикальной составляющей скорости

где

W > 0 на восходящем и W < 0 на нисходящем участке траектории.

В итоге получим, что элементы траектории определяется соотношениями

(4.2.17)

Из (4.2.17) определим угол падения снаряда

Таким образом, (4.2.18)

т.е. угол падения снаряда равен углу бросания с противоположным знаком.