Одномерные системы регулирования

24 25 26 27 28 29 30

ГЛАВА 6. Уравнение и передаточные функции систем автоматического регулирования

Ограничение возмущений

Существует 2 способа ограничения возмущений (рис. 5.21):

1 – ограничивают величину возмущения;

2 – ограничивают скорость изменения возмущения.

Рис. 5.21. Способы ограничения возмущений:

а – ограничение по величине; б – ограничение скорости возмущения

На практике для ограничения величины возмущения используют оба способа, изменяя скорость изменения возмущений ступеньками (комбинированный способ на рис. 5.21,б).

Динамические свойства системы автоматического регулирования определяются динамическими свойствами отдельных ее элементов. Поэтому вопрос о пригодности того или иного регулятора для автоматического регулирования технологического процесса не может быть решен без совместного исследования статики и динамики регулятора с объектом.

Поскольку динамические свойства объектов регулирования обычно заданы, то на динамические свойства системы можно повлиять только за счет выбора типа регулятора и его параметров настройки. Рациональный выбор параметров настройки регулятора должен обеспечить как устойчивость системы регулирования, так и приемлемое качество процесса регулирования.

В стадии проектирования систем автоматического регулирования обычно используют аналитические исследования, которые включают в себя получение уравнения систем, исследования на их устойчивость и качество переходного процесса и т.п. Если эти исследования не дают удовлетворительного результата, то применяют другой закон регулирования, который дает желаемый результаты.

Для исследования системы регулирования необходимо составить ее дифференциальное уравнение, связывающее регулируемый параметр j с величиной внешнего возмущения l.

В общем виде замкнутая система автоматического регулирования состоит из объекта регулирования и регулятора (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Структурная схема системы автоматического регулирования

Для получения уравнения системы необходимо задать свойства объекта регулирования (дифференциальное уравнение или передаточную функцию) и выбрать закон регулирования (П-, ПИ- или ПИД-законы, как наиболее часто используемые).

Пусть заданы уравнения объекта и регулятора. Получим уравнение системы в общем виде.

1. Объект регулирования (на примере одноемкостного статического объекта).

Уравнение объекта

в операторном виде

где d _об(р) – собственный оператор функции j; , – операторы воздействий по m_об и l.

Тогда уравнение объекта в операторном виде (общий вид для любого объекта) будет иметь вид

. (6.1)

2. Регулятор. Выберем ПИ-закон регулирования.

Уравнение ПИ-регулятора

Продифференцируем это уравнение по времени

Уравнение ПИ-регулятора в операторном виде

, (6.2)

где d _рег(р) – собственный оператор функции m_рег; К _рег(р) - оператор воздействий по j.

Тогда можно записать уравнение регулятора в операторном виде (общий вид для любого закона)

. (6.3)

Таким образом, используя общие уравнения объекта и регулятора в операторном виде, можно получить операторное уравнение системы регулирования в общем виде.

Имеем систему двух уравнений:

(6.4)

Регулятор является отрицательной обратной связью по отношению к объекту регулирования и воздействию на регулирующий орган (Р.О.).

Отсюда следует, что m_об= – m_рег. Тогда из уравнения регулятора имеем

Подставив это значение m_об в уравнение объекта, получаем

, (6.5)

или

, (6.6)

где D _с(р) – собственный оператор функции; К _с(р) – оператор воздействий.

Тогда общий вид уравнения системы будет

Для получения дифференциального уравнения системы необходимо знать вид D _с(р) и К _с(р), которые зависят от типа объекта и выбранного закона регулирования.

Уравнение, записанное последним, называют уравнением вынужденного движения системы. Если правая часть этого уравнения равна нулю, то оно называется уравнением свободного движения системы:

D _с(р)j (р)= К _с(р)l (р) уравнение вынужденного движения системы;

D _с(р)j= 0 уравнение свободного движения системы.

После того как получено уравнение системы, оно исследуется на устойчивость и качество процесса регулирования.

Запишем уравнение вынужденного движения системы через передаточные функции объекта регулирования и регулятор. С этой целью разделим все члены уравнения системы в операторном виде (6.5) на d _об(р). Получим

, (6.7)

где ; ; – передаточные функции объекта по возмущениям m_об и l и регулятора.

Тогда операторное уравнение вынужденного движения системы можно записать через передаточные функции объекта и регулятора:

. (6.8)

Если возмущение l снято, имеем уравнения свободного движения системы

. (6.9)

Поскольку j в процессе регулирования все время изменяется и не равно 0, для того, чтобы уравнение свободного движения выполнялось, необходимо, чтобы выражение в квадратных скобках, равнялось нулю:

(6.10)

Это уравнение называют характеристическим уравнением системы, записанным через передаточные функции. Оно используется для исследования устойчивости систем регулирования.

Рассмотрим конкретный пример получения уравнения системы регулирования: объект регулирования – одноемкостный статический, принят ПИ-закон регулирования.

Объект: .

Регулятор: .

Выразив m_рег(р) из второго уравнения и подставив его в первое с учетом знака (m_об= – m_рег), получим

. (6.11)

Это уравнение системы в операторном виде. Запишем его, вынеся j(р) за скобки:

. (6.12)

Это уравнение вынужденного движения системы, в котором:

– собственный оператор функции – ,

– оператор воздействий – .

Уравнение свободного движения системы

. (6.13)

Характеристическое уравнение системы

. (6.14)

Из уравнения системы видно, что его коэффициенты состоят из свойств объекта (Т _об, , ) и параметров настроек регулятора (k _р, Т _и). Свойства объекта регулирования не изменяются, они характеризуют поведение объекта в статических и динамических режимах работы. Параметры настроек регуляторов (k _р, Т _и) можно изменять в широких пределах. Изменяя параметры настроек, добиваются, чтобы система была устойчивой и отвечала необходимому качеству процесса регулирования.

Дифференциальное уравнение вынужденного движения системы получается из (6.11):

. (6.15)

При однократном ступенчатом возмущении на объект регулирования (l=const, ) правая часть уравнения (6.15) равна нулю, тогда имеем уравнение свободного движения системы

, (6.16)

которое исследуется на устойчивость системы регулирования и ее качество.

В укрупненной структурной схеме автоматического регулирования часто в объект регулирования кроме регулируемого участка включают регулирующий орган и измерительное устройство (датчик). Выходной величиной объекта тогда является регулируемая величина y, а входной – положение регулирующего органа m_об (хода регулирующего органа).

В регулятор включены управляющее устройство и исполнительный механизм. Выходной величиной регулятора является положение выходного вала исполнительного механизма m_рег (процент хода исполнительного механизма). Обычно перемещение регулирующего органа равно перемещению выходного вала исполнительного механизма, поэтому обе величины имеют одно обозначение m.

Входной величиной регулятора служит отклонение регулируемой величины y от заданного значения y₀: e = Dy = (y–y₀) – иногда эту величину называют ошибкой регулирования. Элемент сравнения выделяется в отдельный элемент. При таком рассмотрении укрупненная структурная схема системы представлена на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Укрупненная структурная схема системы регулирования: Ä – сумматоры

Выходной величиной замкнутой системы регулирования является электрическое представление регулируемой величины y. В качестве возмущающей величины замкнутой системы обычно рассматривают:

а) внешние возмущения l;

б) возмущение по заданию y₀, связанное с изменением заданного значения регулируемой величины;

в) возмущение по каналу управления m_об.

Тогда можно получить передаточные функции замкнутой системы регулирования по различным типам возмущений при равенстве нулю других входных возмущений.

1. Передаточная функция системы по каналу возмущения:

. (6.17)