Критерий Найквиста

Критерий Гурвица и критерий Михайлова могут применяться для исследования устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых систем, на основе характеристического полинома. Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости замкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (амплитудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.

КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:

. (2.9)

Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости получают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки – 1 на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.

1. Разомкнутая система устойчива. Если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении ωот 0 до ∞ не охватывает точку –1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.8 и 5.9.

Рис. 5.8. Устойчивость

Рис. 5.9. Неустойчивость

Во второй формулировке критерия Найквиста используются понятие охвата точки годографом в положительном или отрицательном направлении. Положительным направлением считается такое, при котором конец вектора движется против часовой стрелки. Отрицательным – по часовой стрелке.

2. Разомкнутая система неустойчива. Если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении ωот 0 до ∞ охватывает точку –1 на оси абсцисс в положительном направлении m /2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.10 и 5.11 для m = 2.

Рис. 5.10. Устойчивость (m = 2)

5.11. Неустойчивость (m = 2)

Если разомкнутая система имеет передаточную функцию, содержащую в знаменателе множителем комплексную переменную р,, то комплексная частотная характеристика будет иметь неопределенность при ω = 0. Амплитуда становиться бесконечной. Годограф получается с бесконечной ветвью. Но если годограф мысленно дополнить зеркально отраженной ветвью и провести полуокружность бесконечно большого радиуса так, чтобы она пересекала положительную часть оси абсцисс, то такой прием позволяет использовать первую формулировку критерия Найквиста.

3. Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка –1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.12 и 5.13.

Рис. 5.12. Устойчивость

Рис. 5.13. Неустойчивость

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку –1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде.

5.5. Выделение области устойчивости D – разбиением

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть – дополняющая первую - обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D - разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:. (2.7.)

Пусть все коэффициенты заданы, кроме и. Предположим, что уравнение (2.7.) имеет в плоскости корней k корней слева от мнимой оси и n - k корней справа для каких–то значений и, рис. 5.19.

Рис. 5.19. Плоскость корней

Рис 5.20. Плоскость коэффициентов

Будем менять значения коэффициентов и и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений и количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т. е. соотношение между k и n - k остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов и меняет соотношение между k и n–k. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения k и n – k. Эту область обозначают D (k, n–k), рис. 5.20.

Например, для характеристического уравнения четвертой степени в плоскости коэффициентов могут быть следующие области: D (0,4), D (1,3), D (2,2), D (3,1), D (4,0). Всего n + 1 областей.

Из всех D (k, n–k) областью устойчивости будет только одна: D (n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось – граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.

5.5.1. D – разбиение по одному параметру

Изучение метода D - разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра. При заданных значениях других параметров. Обозначим параметр символом λ. Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

можно назвать параметром.

Допустим, сделан выбор. Тогда уравнение примет вид

.

Полином, который умножается на λ, обозначим Q (p), остальную часть S (p). Уравнение примет общий вид:. (5.4)

Представив уравнение (5.4) в виде, (5.5)

получаем λ как функцию переменной p.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем p = j ω. Тогда λ (p) становится комплексным числом:

. (5.6)

Если теперь задавать ω от 0 до + ∞, вектор λ (j ω) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости (U, V). Эта кривая отображает на плоскость U, V мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой k корней, по другую n– k.

Если задавать ω от 0 до – ∞, получится зеркальное отображение кривой для + ω. Поэтому кривую рассчитывают для положительных ω, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся k корней, область D - разбиения выделяется штриховкой. Соображения следующие.

При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 5.21) от ω = – ∞ до ω = + ∞ та область, в которой находятся все корни устойчивости будет все время слева. Она показана штриховкой.

Требуется, чтобы и в плоскости (U, V) область устойчивости находилась слева от кривой D-разбиения, если двигаться от – ∞ к + ∞. Левая сторона кривой штрихуется.

Рис. 5.21. Плоскость корней

Рис. 5.22. Кривые D -разбиения со штриховкой

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.22. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Параметр λ по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь: от точки 1 до точки 2 на рис. 5.22.