Интегральные оценки качества

Косвенные показатели качества.

Косвенные показатели качества

При расчетах САР прямые показатели качества оцениваются с помощью косвенных показателей, которые делятся на алгебраические, частотные и интегральные показатели.

1. Алгебраические показатели качества позволяют судить о качестве переходного процесса по коэффициентам или корням характеристического уравнения.

Рассмотрим корневые показатели качества, связанные с распределением левых корней на комплексной плоскости (рис. 4). Здесь используют степень устойчивости и колебательности.

а) Степенью устойчивости a называется расстояние от мнимой оси до ближайшего левого корня. Степень устойчивости характеризует быстродействие системы. Это связано с тем, что быстрота затухания переходного процесса в значительной мере определяется вещественной частью корня, наиболее близко расположенного к мнимой оси. При этом справедлива оценка для времени регулирования t p £ (3 ¸ 5) a.

1) Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то ему соответствует апериодическая составляющая переходного процесса e^-at c₁ (апериодическая степень устойчивости).

2) Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексно-сопряженных корней p 1,2 = - a ± jw, то доминирующая составляющая переходного процесса e^-at (A sin wt + B cos wt) является колебательной (колебательная степень устойчивости).

б) При наличии комплексно-сопряженных корней используется степень колебательности, которая характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период и определяется величиной tgq, где q – наименьший угол сектора, которому принадлежат левые корни на комплексной плоскости (рис. 4).

Действительно, для пары комплексно-сопряженных корней p 1,2 = - a ± jw, a>0, w>0, которым соответствует равенство tgq=w_max / | a|, составляющую решения можно представить в виде e^-at (A sin wt + B cos wt) с периодом колебаний Т= 2p/ω. Чем меньше величина tgq=w_max / | a|, тем меньше колебательность переходного процесса.

Первая интегральная оценка:. (6.8)

Чем меньше интеграл, тем выше качество регулирования.

Рис. 6.9. Площади, которые учитывает интеграл (6.8)

Однако, в случае колебательного переходного процесса интеграл (6.8) представляет собой алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой переходного процесса h (t) и прямой h = h (¥). Отдельные площади суммируются с разными знаками. Интеграл получается минимальным при неудовлетворительном переходном процессе, рис. 6.9. Интеграл (6.8) дает правильное представление о переходном процессе только в случае монотонного хода кривой (например, как на рис. 6.3).

Вторая интегральная оценка:. (6.9)

(Интегральная квадратичная ошибка регулирования).

Интеграл (6.9) тоже суммирует площади, расположенные над и под абсциссой h = h (∞). Но в силу квадратичности функции, все слагаемые положительные.

Чем меньше интеграл J ₂, тем выше качество регулирования.

Преимущество интегральной оценки J ₂ в том, что она применима к колебательным процессам.

Третья интегральная оценка учитывает плавность протекания процесса.

. (6.10)

τ– постоянная, имеющая размерность времени. Плавность измерения регулируемого параметра достигается за счетпроизводной dh / dt.

Третья интегральная оценка применима для характеристики как монотонного, так и колебательного процесса. Неудобство применения оценки (6.10) в том, что должна быть заранее известна постоянная τ.