ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ЛЕКЦИЯ № 16
План
1. Показатели качества оценок
2. Неравенство Рао-Крамера
3. Метод максимального правдоподобия
Рассмотренные в лекции № 15 выборочные характеристики используются для оценки приближенных значений неизвестных числовых характеристик генеральной совокупности.
Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется её точечной статистической оценкой. «Точечная» означает, что оценка представляет собой число. «Статистическая» означает, что оценка рассчитывается по результатам наблюдений.
Выборочное среднее – это точечная статистическая оценка генеральной средней (или математическое ожидание ); выборочная дисперсия – оценка генеральной дисперсии . Обозначим через некоторую генеральную характеристику (например, и любая другая числовая характеристика случайной величины). Пусть * – статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, т.е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по её данным найдем оценку . Повторяя опыт многократно, получим числа, которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку * можно рассматривать как случайную величину, а числа , ,…, – как её возможные значения.
|
|
Абсолютная разность называется ошибкой выборки.
Так как выборочная оценка является лишь некоторым приближением к параметру генеральной совокупности , то желательно, чтобы ошибки оценивания была минимальной. Чтобы выбранная оценка была наилучшей, она должна обладать рядом свойств:
o состоятельностью;
o несмещенностью;
o эффективностью;
Определение 16.1. Оценка * генеральной характеристики называется состоятельной, если для любого выполняется равенство:
(16.1)
Т. е. с ростом объема выборки вероятность того, что выборочная статистика приближается к оцениваемому параметру возрастает.
Выполнение условия состоятельности гарантирует от грубых ошибок в оценке при достаточно больших . Выборочная средняя – состоятельная оценка генеральной средней. Это происходит вследствие того, что средняя ошибка выборочной средней есть величина . Когда объем выборки возрастает, то ошибка уменьшается, а вероятность того, что будет ближе к математическому ожиданию, возрастает.
Определение 16.2. Оценка * генеральной характеристики называется несмещенной, если для любого фиксированного числа наблюдений выполняется условие – математическое ожидание оценки равно неизвестному параметру при любом объеме выборки:
|
|
(16.2)
Если математическое ожидание не равно оцениваемому параметру, то оценку называют смещенной. Смещение точечной оценки определяется как разность:
(16.3)
Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, что было уже показано выше.
В качестве оценки генеральной дисперсии используется выборочная дисперсия . Однако эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия, как можно доказать, является смещенной оценкой. Другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно:
(16.4)
Доказательство:
.
Несмещенная оценка дисперсии называется исправленной дисперсией и вычисляется по формуле:
(16.5)
Формула (16.5) отличается от обычной формулы для вычисления дисперсии только знаменателем. Если – велико, практически совпадает со значением дисперсии, вычисленной обычным способом. При между ними нет практически никакой разницы. Поэтому наряду с несмещенными оценками применяются асимптотически несмещенные оценки, для которых при увеличении объема выборки.
Выборочная доля является несмещенной оценкой генеральной доли.
Определение 16.3. Статистическая оценка * характеристики называется эффективной, если она обладает наименьшей возможной дисперсией.
Степень эффективности оценивают отношением дисперсий:
(16.6)
Если , то оценка более эффективна, чем .
Выборочная средняя при известном значении является эффективной оценкой генеральной средней. Оценка выборочной дисперсии не обладает свойством эффективности, если неизвестны параметры нормального распределения, но если известно математическое ожидание , то выборочная дисперсия обладает свойством эффективности.