2014-02-02
875
Аналитические признаки возрастания и убывания функции
Глава 4. Исследование функции методами дифференциального исчисления
Раздел III. Введение в математический анализ
Теорема 1. Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция y = f (x) возрастает, то ее производная на этом интервале не отрицательна.
y = f (x) диф., возр. на (a,b) Þ (" x Î (a,b)) f¢ (x) ³ 0.
Теорема 2. Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция y = f (x) убывает, то ее производная на этом интервале не положительна.
y = f (x) диф., убыв. на (a,b) Þ (" x Î (a,b)) f¢ (x) £ 0.
Геометрический смысл теорем 1 и 2 ( рис. 1 ): 1) если функция возрастает, то касательные образуют с осью Ох острый угол, а в некоторых точках касательные параллельны оси Ох; 2) если функция убывает, то касательные образуют с осью Ох тупые углы, а в некоторых точках параллельны оси Ох.
Пример 1. y = x3, y¢ = 3x2.
y¢ > 0 для x ¹ 0 – касательная образует с осью Ох острый угол;
y¢ = 0 при x = 0 – касательная параллельна оси Ох ( рис. 2 ).
