Достаточные условия возрастания и убывания функции

Теорема 3. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ] и в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную производную, то она возрастает на отрезке [ a,b ].

y = f (x) непр. на [ a,b ],(" x Î (a,b)) f¢(x) > 0 Þ y = f (x) – возр. на [ a,b ]. 

Теорема 4. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ] и в каждой внутренней точке этого отрезка имеет отрицательную производную, то она убывает на отрезке [ a,b ].

y = f (x) непр. на [ a,b ],(" x Î (a,b)) f¢(x) < 0 Þ y = f (x) – убыв. на [ a,b ]. 

Замечание. Если производная функции всюду на интервале равна нулю, то функция на этом интервале постоянна.

(" x Î (a,b)) f¢ (x) =0 Þ f (x) =const. 

§2. Экстремумы функции

def. Точка x₀ называется точкой локального максимума функции y = f (x), если существует такая d -окрестность точки x₀, что для всех x ¹ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x₀).

x₀ – точка лок. максимума y = f (x)Û$ d >0, " x ¹ x₀:Þ f (x) < f (x₀).

def. Точка x₀ называется точкой локального минимума функции y = f (x), если существует такая d -окрестность точки x₀, что для всех x ¹ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

x₀ – точка лок. минимума y = f (x)Û $ d >0, " x ¹ x₀:Þ f (x) > f (x₀).

def. Значение функции в точке локального максимума (локального минимума) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции. Локальный максимум (минимум) функции называется локальным экстремумом функции или экстремальными значениями функции.

Замечание 1. Функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов на отрезке [ a,b ] ( рис. 3 ).

x₁, x₃ – точки локального минимума; x₂, x₄ – точки локального максимума функции на отрезке [ a,b ]. 

def. Пусть функция y = f (x)определена на промежутке Х. Наибольшее (наименьшее) значение функции y = f (x)на Х называется глобальным максимумом (глобальным минимумом) функции y = f (x).