Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
Другие формы остатка в формуле Тейлора
Лемма. Если
Остаток в форме Пеано
Теорема 1. Если у функции f (x) существует f (n)(x 0), то имеет место равенство
.
Другими словами
(6)
Доказательство. Для краткости будем обозначать R (x) =Rn (x), тогда можно выписать следующие равенства для последующего использования по правилу Лопиталя
(10)
(11)
…
(1m)
…
(1n-1)
Как уже отмечалось (формула (3))
По правилу Лопиталя
Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n–ю производную в точке x 0 и
, то
, (2)
то bk= 0, k= 0,1, …,n.
Доказательство. В формуле (2)перейдем к пределу при x® x 0, получим b 0 = 0,
, делим полученное выражение на (x-x 0) и переходим к пределу при x® x 0 и т.д.
Доказательство теоремы.
откуда и следует утверждение.
Пусть функция f (x) (n+ 1) – раз дифференцируема в окрестности Ua (x 0) = (x 0 -a,x 0 +a) и y(x) дифференцируема в, y ¢ ¹0 в, y(x) непрерывна в.
Возьмем x Î(x 0 -a,x 0 +a), x ¹ x 0 и фиксируем. Для определенности будем считать x 0 <x и рассмотрим на [ x 0, x ]функцию
Отметим следующие свойства этой функции
1) j(x) = 0.
2) j(x 0) =Rn (x).
3) j(z) непрерывна на [ x 0 ,x ], дифференцируема на (x 0 ,x).
4)
Не очевидным является только четвертое свойство
=
= = =.
К функциям j и y применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [ x 0, x ]
. Откуда и, далее,
(1)
Следствие 1. Если функция f является (n+ 1) -раз дифференцируемой на (x 0 -a, x 0 +a), то
,
где xÎ(x 0 ,x) (или (x,x 0)) ,p >0. Полученный остаток называется остатком в форме Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы в качестве функцииy(z) нужно взять y(z) = (x - z) p.
Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f является (n+ 1 )–раз дифференцируемой на (x 0 -a, x 0 +a), то
.
Этот остаток получен из общей формулы при p=n +1.
Замечание. Формулу Тейлора с остатком Лагранжа можно представить в виде
.
Следствие 3. Если f (n+ 1) –раз дифференцируема на (x 0 - a, x 0 +a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши
Этот остаток получен из общей формулы при p= 1.
1) Экспонента ex, x 0=0
,xÎ(0 ,x), если x> 0 или xÎ(x,0)в случае
x < 0. Например, при |x|< 1, |Rn(x)|£
2) sin x, x 0=0
Вспомогательная формула:
=, x® 0,
выберем m= 2 n+ 2, тогда
sin x =, x® 0,
откуда, с учетом равенства f (2 n+ 2)(0)=0, получаем разложение для синуса
sin x =, x® 0.
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
, xÎ(0 ,x) (или
xÎ(x, 0)). Действительно,
= = Откуда следует, что
1) cos x, x 0=0.
Вспомогательная формула:
.
.
=, x® 0,
выберем m= 2 n+ 1, тогда
, x® 0,
откуда, с учетом равенства f (2 n +1)(0)=0, получаем разложение для косинуса
cos x =, x® 0.
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x =, xÎ(0, x) (или xÎ(x,0)). Действительно,
= =.
Откуда следует, что
2) ln(1 +x), x 0=0.
, x® 0.
3) (1 +x) a, x 0=0 , интерес представляет случай, когдаaне является натуральным числом.
f¢= a(1 +x)a- 1 ,…,f (k)=a(a - 1)… ( a - k +1)(1 +x)a - k.
, x® 0
Важный частный случай
=.
6)sh x, x 0=0.
7)ch x, x 0=0.
Пример 1.
Пример 2.
.
Пример 3. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно.
. Для решения задачи возьмем разложения функции
,
+ x4+ x5+o (x5)=
=1+2 x+x 2 x 3 x 4 x 5 +o (x 5).
Пример 4. Разложить функцию f (x) = 1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно. Представим функцию в виде
= 1 +u+u 2 +u 3 +o (u 3),
где u =. Тогда
= 1 +u+u 2 +u 3 +o (u 3) = 1 + + + +. При вычислении степеней нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени войдут в o (x5). Таким образом, =, =, =. Выражение = показывает, что в разложении = 1 +u+u 2 +u 3 +o (u 3)можно, с самого начала, ограничится второй степенью
= 1 +u+u 2 +o (x 5). Подставляя нужные выражения в это равенство, получим =1 + + + =1 +
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) = tg x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x 6включительно.
tg x= = =
x+x 2(0) +x 3 +x 4(0) +x 5 +x 6(0)+o(x 6) =
=.
Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1 +x)a - (1 - x)aпо формуле Тейлора с остатком Пеано.
k = 2 l+ 1,
Таким образом,
Следствие..
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел
.
Имеем: =|x| = sign x +o ().
Пример 8. Разложить функцию f (x) = по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x 4включительно.
Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x 3включительно.
Положим u=x - x2, тогда = = 1 +u+u 2 +u 3 +o (u 3) = 1 + x - x 2 + (x – x 2)2 + (x – x 2)3 +o (x 3)=1 +x – x 3 +o (x 3). Далее,
= = 1+2 x (1 +x–x 3 +o (x 3))=1+2 x+ 2 x 2-2 x 4 +o (x 4).
Второй способ. Так как, то на первом шаге выделяем единицу:
=. Второе слагаемое представляем в виде Cxng 2(x)так, чтобы, после чего следует представить функцию g 2 (x) в виде g 2(x) = 1 +g 3(x)и т.д. В нашем случае:
= = = =
= = 1 + 2 x+
+ =
=1+2 x+ 2 x 2 = 1+2 x+ 2 x 2-2 x 4 +o (x 4).