Пример 5.
Пример 4.
Пример 3.
Пример 2.
Пример 1.
Найти .
Сделаем подстановку , тогда и, следовательно,
Найти . Полагаем , тогда и
Найти Полагаем ; тогда ,
Найти . Полагаем ; тогда ,
(предполагается, что a>0).
Найти . Полагаем , тогда
.
Найти . Полагаем , тогда ,
Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. Изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.
- Метод интегрирования по частям
Пусть и - функции имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя это равенство, получаем
или .
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
|
|
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким – либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv; затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.
Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
- Интегралы вида , , , где - многочлен, k – число. Удобно положить , а за dv обозначить остальные сомножители.
- Интегралы вида , , , , . Удобно положить , а за u обозначить остальные сомножители.
- Интегралы вида , , где a и b – числа. За можно принять функцию .