Методы смягчения проблемы гетероскедастичности.
Обнаружение гетероскедастичности.
Суть гетероскедастичности.
Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена.
Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Гетероскедастичность.
Лекция 6
Вопросы:
Рассмотрим линейную модель множественной регрессии:
1)
2) , , , ,
Значения признака Матрица объясняющих Вектор Вектор Вектор
переменных, столбцами регрессора j случайных коэфф-тов
которой являются Xj ошибок регрессии
3),
В классической модели компоненты вектора возмущений некоррелированы М() = 0 при , а дисперсии компонент постоянны , ковариационная матрица возмущений
Суть обобщения регрессионной модели состоит в том, что ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными (т.о. обобщенная модель множественной регрессии отличается от классической только видом ковариационной матрицы). - положительно определенная матрица (АТ = А и хТАх > 0). В классической модели множественной регрессии обычным МНК был получен вектор оценок параметров, он является несмещенной и состоятельной оценкой для . Рассмотрим ковариационную матрицу
В классической модели и К = . В качестве выборочной оценки ковариационной матрицы К была взята матрица , где , причем
M(S2) = и = К, т.е. - несмещенная оценка К.
В обобщенной модели и К = . Если в качестве оценки матрицы К взять ту же матрицу, то , т.е. - смещенная оценка для К. Т.о., обычный МНК в обобщенной линейной регрессионной модели дает смещенную оценку ковариационной матрицы К вектора оценок параметров. Следовательно, оценка не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова. Для получения наиболее эффективной оценки ковариационной матрицы К нужно использовать оценку, получаемую так называемым обобщенным МНК.
Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора для обобщенной регрессионной модели оценка имеет наименьшую ковариационную матрицу.
Для применения обобщенного МНК надо знать ковариационную матрицу вектора возмущений , что встречается крайне редко в практике эконометрического моделирования. Если считать все n(n+1)/2 элементов матрицы неизвестными параметрами обобщенной модели (в дополнение к (р+1) параметрам регрессии), то общее число параметров превысит число наблюдений n, что сделает оценку этих параметров неразрешимой задачей.
Для практической реализации обобщенного МНК вводятся дополнительные условия на структуру матрицы .