Повышение порядка аппроксимации начальных условий

Разрешимость разностной схемы.

Как следует из (6), решение выражается явным образом через значения на двух предыдущих слоях:

(8)

Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (7b) определяется решение на первом слое:

(9)

Поскольку разностное уравнение (6) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

,

где 0 < q < 1. Отсюда получим

.

Так как в соответствии с дифференциальным уравнением (1)

,

то имеем

.

Следовательно, разностное уравнение

(10)

аппроксимирует второе начальное условие из (2) со вторым порядком по l:

Разностная схема (6), (7a), (10) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (10) определяется решение на первом слое:

. (11)

На остальных слоях решение вычисляется по формуле (8).