Условие Куранта, Фридрихса, Леви

При использовании сеточного метода решения задачи Коши для гиперболического уравнения шаги сетки h и l должны удовлетворять определенным соотношениям.

Возьмем произвольную точку S множества D и зафиксируем ее. Возьмем также произвольную положительную константу a и построим прямоугольную сетку так, чтобы и в точке S получался узел сетки . Из точки S проведем прямые соответственно через узлы и до пересечения с осью абсцисс.

	A			B

Как следует из (6) и (7) решение разностной схемы в точке S однозначно определяется значениями функций в узлах сетки, расположенных на отрезке CD. Поэтому треугольник SCD называют треугольником определенности разностной схемы для точки S. Через точку S проходят две характеристики дифференциального уравнения (1) соответственно под углом и к оси абсцисс. Эти характеристики пересекают ось абсцисс соответственно в точках B и A. В математической физике доказывается, что решение в точке S задачи Коши для уравнения (8) однозначно определяется начальными условиями на отрезке AB. Поэтому треугольник SAB называют треугольником определенности дифференциального уравнения (1) для точки S.

Очевидно, при a=1 треугольник определенности разностной схемы в нашем случае будет совпадать с треугольником определенности дифференциального уравнения, а при a>1 будет находиться внутри него. В последнем случае (при a>1) разностная схема будет неустойчивой. Действительно, изменения начальных условий на отрезках AC и DB в разностной схеме не влияют на значение решения в узле S, а в дифференциальной задаче влияют.

Таким образом, для устойчивости разностной схемы для гиперболического уравнения необходимо, чтобы треугольник определенности дифференциального уравнения содержался внутри треугольника определенности разностной схемы. Это необходимое условие впервые было сформулировано в одной из работ Куранта, Фридрихса и Леви.

В общем случае треугольники определенности дифференциального уравнения и разностной схемы могут быть криволинейными. Однако и тогда имеет место сформулированное выше необходимое условие устойчивости разностной схемы.