Работа элементарных лопастей ветроколеса. Первое уравнение связи

Теория реального ветряка

II. Resumez le texte lu.

Выделимиз лопастей ветроколеса двумя концентрическими окружно-

стямис радиусами r и

r + dr

кольцевуюповерхность

dF =2p rdr. Это коль-

цо на крыльях вырежет отрезки длиною dr, которые называются элементар-

нымилопастями (рис. 8.1.1). Через все точки обеих окружностей проведем

линиитока,образующиедвеповерхности ABC,

A ¢ B ¢ C ¢ бутылеобразнойфор-

мы (рис. 8.1.2). Жидкость, заключённую между этими поверхностями,

назовёмэлементарной кольцевой струёй.

Рис. 8.1.1. Выделение элементарных лопастей на ветроколесе.

Сделаем предположение, обычно принимаемое в аналогичных теориях, что разность давлений по обе стороны ветрового колеса, действующая на площадь кольца, получающегося от пересечения ометаемой плоскостью эле- ментарной струи, воспринимается элементарными лопастями.

На основании этого составляем первое уравнение связи:

2p rdr (p 1 - p 2) = i (dY cos b + dX sin b), (8.1.1)

где Y – подъемная сила крыла, направленная перпендикулярно потоку;

X – сила сопротивления крыла (лобовое сопротивление крыла), направ-

ленная по потоку;

b – угол между плоскостью вращения ветроколеса и направлением воз-

душного потока, набегающего на крыло;

i – число лопастей ветроколеса.

Рис. 8.1.2. Элементарная кольцевая струя.

Для определения направления сил, действующих на элементарную ло-

пасть, изобразим ее сечение на рисунке 8.1.3, где ось Z направлена по оси

ветроколеса и ось

x - x

в плоскости его вращения; V – направление скоро-

сти ветра; W – направление скорости относительного потока, набегающего

на элемент лопасти.

Разложим силу dR, действующую на элементарную лопасть, на две си- лы: dX, действующую по потоку, и dY, направленную перпендикулярно по- току. Сила dX вызывает сопротивление элемента крыла; dY вызывает ок- ружное усилие элемента крыла и называется подъёмной силой.

Вследствие вращения ветроколеса в плоскости

x - x

воздушный поток

набегает на ветроколесо не со скоростью ветра V, а с относительной скоро-

стью W, которая слагается геометрически из скорости ветра V и окружной скорости w r, где w угловая скорость и r – расстояние элемента лопасти от

оси вращения ветроколеса.

Скорость потока, набегающего на элемент лопасти, в относительном движении будет равна:

V

W = 2

+(-w r - u 1

)2, (8.1.2)

где V 1 = V

- v 1 – скорость ветра в плоскости ветряка.

Рис. 8.1.3. План скоростей воздушного потока при набегании его на элемент

лопасти.

Скорость u 1 получается как реакция от крутящего момента, развивае- мого лопастями. Эта скорость имеет направление, обратное моменту; её ве- личина берётся как средняя для всей зоны, в которой работают лопасти. В действительности эта скорость перед ветроколесом равна нулю и непосред- ственно за ветряком равна u 2. Так как закон изменения этой скорости неиз- вестен, то, как первое приближение, её принимают равной:

u = u 2. (8.1.3)

1 2

Силы dY и dX можно выразить как:

dY = C

bdr r W 2, (8.1.4)

y 2

dX = C

bdr r W 2, (8.1.5)

x 2

где b – ширина элемента лопасти по хорде.

Кроме того, на основании уравнения для лобового давления на ветряк

(потеории идеального ветряка Г.Х. Сабинина) можем написать:

P

p 1 - p 2 =

F 1

= r Vv 2

. (8.1.6)

Подставляя вместо dY и dX и

получим:

p 1 - p 2

их значения в уравнение (8.1.1),

2p rdr r Vv 2

= i ⎛ bdrC

⎜

y

⎝

r W 2 cos b+ bdrC

2 x

r W 2 sin b⎞; (8.1.7)

⎟

2 ⎠

после сокращения получим:

W 2 ⎛ C ⎞

2p rVv

= ibdrC

cos b⎜1 + x tg b⎟; (8.1.7а)

или

y ⎜ ⎟

C

⎝ y ⎠

⎛ C ⎞

4p rVv

= ibdrC

W 2 cosb⎜1+ x tg b⎟. (8.1.7б)

C

2 y ⎜ ⎟

⎝ y ⎠

На основании рис. 8.1.3 можно ввести обозначение

w r + u 1

ctg b =

V - v 1

= zu, (8.1.8)

которое называют числом относительных модулей.

Из уравнения (8.1.8) имеем:

или

- w r - u 1 = - zu (V

- v 1), (8.1.8а)

(-w r - u 1)

u

= z 2 (V

- v 1

u

)2, (8.1.8б)

u

и, зная, что V 1 = V

- v 1, уравнение (8.1.2) можем переписать так:

W = (V

- v 1)

+ z 2(V

- v 1)

= (V

- v 1)

1 + z 2. (8.1.9)

Заменим:

sin b= V

- v 1 =

V - v 1

= 1, (8.1.10)

u

W (V

- v 1)

1 + z 2

1 + z 2

cosb=w r + u 1 =

w r + u 1

= zu

u

, (8.1.11)

u

u

W (V

- v 1)

1 + z 2

1 + z 2

tg b=1

zu

, (8.1.12)

C x =m

C y

– обратное качество крыла (8.1.13)

и подставим их в уравнение (8.1.7б)

z

⎛ m⎞

4p rVv

= ibC

(V - v

)2(1+ z 2) u ⎜1+

⎟. (8.1.7в)

2 y 1

u

u

1 + z 2 ⎝

v

zu ⎠

Вводя в это уравнение

v =2 v 1,получим:

1+ v 1

V

e = 1 изаменив

V

v 2 его значением из равенства

ibC y

= 8p r

e

(1 + e)(1 + e)2

(zu

+ m)

u

1 + z 2

. (8.1.14)

Это уравнение называется уравнением связи; оно связывает ширину

лопасти и коэффициент подъемной силы с деформацией потока, характери-

зуемой величиной e.

Взяв сумму проекций сил элемента лопасти на касательную к окружно- сти, по которой он движется, получим окружное усилие, развиваемое эле- ментарными лопастями:

dQ = ibdr r W 2 (C

2 y

sin b - C x

cos b).

чим:

Подставляя сюда значение W, sin b

и cos b

и вводя C x

= m C y, полу-

dQ = ibdr r(V

u

y

- v 1

)2 (1 + z 2) C

1-m zu

u

1 + z 2

. (8.1.15)

Подставляясюда значение ibC y

щения,получим:

из уравнения (8.1.14) и сделав сокра-

dQ =4p rdr r

e V 2 1 -m zu

. (8.1.16)

1 + e

zu +m

Момент относительно оси ветряка равен:

dM = dQr =4p r 2 dr r

e V 2 1 -m zu

. (8.1.17)

1 + e

zu +m

Секундная работа элементарных лопастей:

dT = dM w=4p rdr r

e V 3

1 - m zu

z. (8.1.18)

1 + e

zu +m

Секундная энергия далеко перед ветряком, заключенная в потоке, пло-

щадь сечения которого определяется площадью кольца, сметаемого элемен-

тарными лопастями, равна:

V 3

dT 0

= 2p rdr r

. (8.1.18а)

Поделив секундную работу элементарных лопастей на эту энергию,

получим элементарный коэффициент использования энергии ветра:

x= dT =

4 e 1 -m zu

z. (8.1.19)

dT 0

1 + e

zu +m

Умножив и разделив выражение (8.1.19) на (1 - e)получим:

x=4 e 1 - e 1 -m zu

z. (8.1.19а)

1 + e

zu +m1 - e

Так как выражение

4 e 1 - e

1 + e

представляет идеальный коэффициент

использованияэнергии ветра, то можем написать:

i

x=x

1 - m zu

i

z =xh, (8.1.20)

zu +m1 - e

где

h=1 -m zu z

(8.1.21)

zu +m1 - e

называют относительным коэффициентом полезного действия элемен-

тарного ветряка.

При большом числе модулей можно приблизительно считать:

z @ z

1 - e u

и тогда:

h=1 -m zu z

(8.1.21а)

zu +m1 - e

Напомним, что числом модулей, или быстроходностью ветродвигате-

ля, называют отношение окружной скорости конца лопасти к скорости ветра:

Z =w R.

V

Число модулей элементов лопастей на радиусе r равно:

z =w r. (8.1.22)

V

Число модулей для любого радиуса r ветряка с известной быстроход-

ностью Z может быть выражено так:

z = Z

r, (8.1.23)

R

где R – радиус ветроколеса.