Потенциальная яма. Условия равновесия механической системы

Пусть на частицу действуют только консервативные силы. Как мы знаем, в этом случае полная механическая энергия частицы сохраняется:

E = T+U = const.

Поскольку кинетическая энергия по своему определению всегда положительна, то это значит, что полная механическая энергия не может быть меньше, чем потенциальная:

E ≥ U. (5.34)

Так как потенциальная энергия зависит только от координат частицы, то соотношение (5.34) определяет область пространства, в пределах которой может находиться частица с заданной энергией Е. Частица не может проникнуть в области, где U > E, поскольку потенциальная энергия не может быть больше полной энергии.

В качестве примера рассмотрим частицу, способную совершать только одномерное движение, например вдоль оси Ох. Тогда зависимость потенциальной энергии от координат сведётся к зависимости от х: U = U(x) (рис. 5.4).

Рисунок 5.4 – Потенциальная энергия частицы

Прямая Е ₁ на этом рисунке соответствует движению частицы с полной энергией, равной Е ₁. Из рисунка 5.4 видно, что частица может находиться только в области IIили в области IV, и не может находиться в областях I и III, в которых её потенциальная энергия больше, чем полная. Если, например, частица находится в области II, то она не может попасть в область IV, поскольку для этого ей придётся преодолеть потенциальный барьер CnD, что невозможно без сообщения частице дополнительной механической энергии.

Таким образом, частица может совершать только финитное, т.е. ограниченное в пределах области II движение. Частица как бы заперта в области II в пределах потенциальной ямы BmC и может двигаться только между точками поворота x _B и x _C. Если же частица находится в области IV, то она имеет возможность уйти на бесконечность, если она движется вправо. В этом случае движение называется инфинитным. Если же частица движется влево, то, достигнув точки поворота x _D, она повернёт назад и снова будет уходить на бесконечность. Если полная энергия частицы равна Е ₂, то доступной для движения будет вся область x > x _A.

Ещё один интересный пример изображён на рисунке 5.5. Здесь частица обладает отрицательной потенциальной энергией, которая обращается в нуль при x ® ±¥. Движение будет финитным, если полная энергия отрицательна – частица может совершать только колебательное движение между точками x _A и x _Bв пределах потенциальной ямы AmB. И движение будет инфинитным, если полная энергия частицы положительная – в этом случае частице доступна область от до +¥.

Рисунок 5.5 – Потенциальная яма

При помощи потенциальной энергии можно сформулировать условие равновесия механической системы. Как мы уже знаем, кинетическая энергия может увеличиваться только за счёт уменьшения потенциальной энергии. Следовательно, чтобы система находилась в равновесии, её потенциальная энергия должна быть минимальной. Чтобы найти минимум потенциальной энергии, необходимо исследовать функцию U(x) на экстремум. Как известно, для этого нужно первую производную по координате приравнять нулю;

. (5.35)

При координате x ₀, соответствующей условию (5.35), силы, действующие на частицу, в соответствии с выражением (5.23), равны нулю. Но, как мы знаем, условие (5.35) также отвечает максимуму функции U(x). И это тоже будет точка равновесия механической системы. Однако это будет точка неустойчивого равновесия, в отличие от точки, соответствующей x ₀ (см. рис. 5.5).

Если систему вывести из положения равновесия, соответствующего минимуму потенциальной энергии, то возникают силы, которые стремятся вернуть систему в положение равновесия. И, наоборот, при выведении системы из положения неустойчивого равновесия в ней появляются силы, которые будут удалять систему от положения неустойчивого равновесия. Таким образом, можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: в замкнутой системе самопроизвольно протекают только те процессы, при которых потенциальная энергия системы стремится к минимуму.