Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Функция у = f (x)называется бесконечно большой при х → x ₀, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ (М) > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - x ₀ | <δ, выполняется нера­венство |f (x) |> М. Записывают или f (x) →при х → x ₀.

Коротко:

.

Например, функция есть б. б. ф. при х → 2.

Если f (x) стремится к бесконечности при x→x ₀ и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Функция y = f (x), заданная на всей числовой прямой, называется бес­конечно большой при х → , если для любого числа М > 0 найдется такое число N = N (M) > 0, что при всех х,удовлетворяющих неравенству | x | > N, выполняется неравенство | f (х)| > М. Коротко:

Функция у = f (x)называется бесконечномалой при х → x ₀,если

(4.1)

По определению предела функции равенство (4.1) означает: для любого числа ε >0 найдется число δ >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х – x ₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x)| < ε.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми вели­чинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.

Примерами б. м. ф. служат функции у = х ²при х → 0; у = х - 2 при х →2; у = sin х при х → π k, k Z.

Другой пример: х_п =, n N, — бесконечно малая последователь­ность.

Теорема. Функция f (x) имеем предел, равный А, тогда и только тогда, когда f (x) = A + α(x), где α(x) – бесконечно малая при x → x₀.