Односторонние пределы

Число А₁ называется пределом функции у = f (x) слевав точке x ₀, если для любого число ε> 0 существует число δ = δ(ε)> 0 такое, что при х (x ₀ - δ; x ₀), выполняется неравенство | f (x) — А| < ε. Предел слева записывают так: или коротко: f (x ₀ - 0) = A (см. рис. 2).

Рис. 2.

Аналогично определяется предел функции справа,запишем его с по­мощью символов:

Коротко предел справа обозначают f (x ₀ + 0) = A ₂.

Пределы функции слева и справа называются одностороннимипре­делами. Очевидно, если существует, ,то существуют и оба односторонних предела, причем A=A ₁ =A ₂.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела

f (x ₀-0) и f (x ₀+ 0) и они равны, то существует предел А = и А = f (x ₀-0). Если же A ₁ ≠ A ₂,то не существует.

3.3. Предел функции при x →

Пусть функция у = f (x)определена в промежутке (-;). Определение. Число А называется пределом функции f (x)при х → , если для любого положительного числа ε существует такое число М = М (ε) > 0, что при всех х,удовлетворяющих неравенству | х | > М выполняется неравенство

| f (x) — А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Если х → +, то пишут A= , если x → -, то - А=

Геометрический смысл этого определения таков: для , что при

х или x соответствующие значения функции f (x) попадают в ε-окрестность точки А,т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ε, ограниченной прямыми у= А + ε и y= А -ε (см. рис. 3).

Рис. 3.

Определение. Число A называется пределом функции при x , если для любой последовательности { x_n } значение x из области определение f(x) такой, что x_n , соответсвующая последовательность { f(x­_n) } значений функции f(x) сходится и притом всегда к одному и тому же числу A.