Основные теоремы о непрерывных функциях

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = x₀ - точка разрыва функ­ции у = f (x),то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки x ₀, но не определена в самой точке x ₀.

Например, функция у = не определена в точке x ₀ = 2 (см. рис. 2).

Рис. 2.

2. Функция определена в точке x ₀и ее окрестности, но не существует предела f (x)при х → x ₀.

Например, функция

определена в точке x ₀ = 2 (f (2) = 0), однако в точке x ₀= 2имеет разрыв (см. рис. 3), т. к. эта функция не имеет предела при x → 2:

, a .

Рис. 3.

3. Функция определена в точке x ₀и ее окрестности, существует ,но этот предел не равен значению функции в точке x ₀:

.

Например, функция (см. рис. 4)

Здесь x ₀ = 0 - точка разрыва: а g (x ₀) = g (0) = 2.

Рис. 4.

Все точки разрыва функции раз­деляются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 1. Точка разрыва x ₀назы­вается точкой разрыва первого ро­дафункции у = f (x),если в этой точ­ке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. и . При этом:

а) если А ₁= A ₂, то точка x ₀называется точкой устранимого разры­ва;

б) если A ₁ ≠ А₂, то точка x ₀называется точкой конечного разрыва. Величину |A ₁ - А ₂ | называют скачком функциив точке разрыва первого рода.

Определение 2. Точка разрыва x ₀называется точкойразрыва второго родафунк­ции у = f (x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 2) у =, x ₀ = 2 — точка разрыва второго рода.

2. Для функции

x ₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен || = 1

3. Для функции

при х ₀ = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g (х)= 1(вместо g (х)= 2) при х= 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.