Рассмотрим систему стабилизации частоты вращения вала двигателя с центробежным регулятором прямого действия, имеющую следующее математическое описание:
(Tp + 1)y = kxx - kzz
(T22p2 + T1p + 1)x = -kpy. (9.1)
Исключив из этой системы уравнений х, получим ДУ САР:
[(Tp+1)(T22p2+T1p+1)+kxkp]y = -kz(T22p2+T1p+1)z,
или, после преобразований,
[TT22p3+(TT1+T22)p2+(T+T1)p+(1+kxkp)]y = -kz(T22p2+T1p+1)z. (9.2)
Условие установившегося режима при возмущении z=z0 получим, потребовав, чтобы р =0:
(1+kxkp)= -kzz0,
откуда
. (9.3)
Очевидно, что для уменьшения статической ошибки по модулю следует увеличивать коэффициент усиления регулятора kp.
Рассмотрим характеристическое уравнение САР
TT22p3+(TT1+T22)p2+(T+T1)p+(1+kxkp)=0.
Условие устойчивости имеет вид
(TT1+T22)(T+T1) > TT22 (1+kxkp),
откуда
kp < . (9.4)
Оказывается, что, с одной стороны, согласно (9.3) коэффициент усиления регулятора нужно увеличивать, а с другой стороны, по условиям устойчивости он ограничен сверху. Очевидно, что условие устойчивости накладывает ограничение снизу на величину статической ошибки.
|
|
Покажем, что описанное ограничение распространяется на системы любого порядка. Пусть собственный оператор САР имеет вид
D(p) = anpn + an-1pn-1 +…+ a1p + a0.
Как следует из предыдущих рассуждений, коэффициент a0 = 1+kxkp. Применив критерий Михайлова, получим выражения для компонент вектора кривой Михайлова:
U = a0 – a2w2 + a4w4 – a6w6 +…
V = a1w - a2w3 + a5w5 –a7w7 +…
Предположим, что система при некотором значении а0 была устойчивой (рис.9.1, кривая а). Очевидно, что при увеличении kp увеличивается а0, и кривая Михайлова смещается вправо, так что при некотором достаточно большом а0 она не пройдёт через вторую либо третью четверти (рис.9.1, кривая б), а это означает потерю устойчивости системой.
Рис.9.1. Потеря устойчивости при слишком больших
коэффициентах усиления регулятора.
Рекомендуемая литература
1. Бесекерский В.А., Попов Е.В. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.- 767 с.
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Ч.1. М.: Энергия, 1965.- 396 с.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Ч.2. М.: Энергия, 1966.- 384 с.
4. Гитис Э.И., Данилович Г.А., Самойленко В.И. Техническая кибернетика. М.: Советское радио, 1969.- 486 с.
5. Под ред. Пономарёва В.М. и Литвинова А.П. Основы автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1974.- 439 с.
6. Под ред. Солодовникова В.В. Техническая кибернетика. Книга 1.- 768 с., Книга 2.- 679 с., Книга 3, Ч.1.- 607 с.,Ч.2.- 367 с. М.: Машиностроение, 1967 – 1968.
7.Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия, 1975.- 404 с.