Математические модели объектов и САУ
Для формализованного описания САУ используют три вида моделей (все они математические):
- Модели представления системы во временной области – модели в пространстве состояний;
- Модели представления системы в частотной области, получившие название вход/выход, получившие название операторная модель;
- Структурные схемы – графические модели.
Для исследования процессов САУ необходимо в любом виде моделей составить описание ее в виде системы дифференциальных уравнений. Необходимо установить значение всех начальных условий, определить вид функций, описывающих внешнее воздействие.
Математическая модель САУ в терминах преобразования «вход/выход»
В инженерной практике большое распространение получил операторный метод исследования системы, который использует некоторые специальные функции, характерные динамические свойства САУ, такие как передаточная функция, переходные функции и различные частотные функции.
Для этого метода справедливо:
|
|
- Каждый реальный элемент САУ – это устройство, звено системы, в котором осуществляется образование одного воздействия (входного процесса) в другое (выходная реакция или выходной процесс);
- Взаимодействие между звеньями создаются путем описания связей между их входами и выходами, определяющими структуру САУ.
Пусть нам задано, что рассматриваемая линейная функция САУ, для описания которой используется линейное дифференциальное уравнение, записываемое в следующем виде:
;
;
, где
и – параметры системы.
Возьмем оператор дифференцирования для представления системы в операторной форме:
– оператор дифференцирования;
;
.
Перепишем используя оператор дифференцирования:
;
, где
и – многочлены -ой степени
;
.
Разделим левую и правую части операторной формы на :
;
Вводится операторная передаточная функция:
;
.
Представление системы в виде является символическим, оно не даст решения дифференциального уравнения, т.к. не определен смысл деления на .