Вейвлет - преобразование

Для анализа сигналов s (t), заданных навсей временнойоси, в настоящее время часто используются негармоническиебазисныефункции— вейвлеты (wavelet). Название "вейвлет", переводит­сяна русскийязык как "маленькая волна". Вейвлет представляется функцией ψ(t) осциллирующей в некотором временном интервале подобно волне и быстро затухающей вне него.При этом функция должна иметь нулевое среднее значение

На рис. 4 показаны графики двух вейвлетов:мексиканская шляпа и Хаара.

Общий принциппостроения базиса на основе вейвлета состоит виспользовании масштабирования (сжатияили растяжения)базис­ной функции во времени и сдвига (смещения) ее по временной оси.

Таким образом, семейство вейвлетов — это функции

,

где: а — мас штаб, b — сдвиг. Коэффициент перед функцией введен для сохранения нормы сигнала в L ₂(R).

Чем больше масштаб, тем медленнееизменяется и более «крупномасштабно» выглядитвейвлет. Чем меньше а, темболее высо­кочастотныеи быстроизменяющиеся составляющие описываетвейв­лет. Понятиечастоты из классического гармонического спектрального анализа в вейвлет-анализезаменено масштабом а.

Используя сдвиг вейвлета, но оси времени, проводим анализ свойств сигнала в разных точках временной оси. Такой сдвиг не пре­дусмотрен в гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты удобно ис­пользовать при анализе нестационарных сигналов, когдакроме ин­формации овыявленных частотахнужно получить данные о моментах времени, при которыхэти частоты возникают или исчеза­ют.

Непрерывное изменение масштаба а и сдвига b, как правило, яв­ляется избыточным. Для построения вейвлет-рядовможно ограни­читься дискретнымизначениями а и b, а именно и, где m, - целые (кратномасштабный анализ). Сдвиг b в этомслучае про­порционален а. При таком выборе b вейвлеты сдвигаются дискрет­но, малыми шагами, покрываявсю временную ось. В этом случае семейство вейвлетов имеет вид

где т — уровень разрешения, k —целочисленный сдвиг.

Несмотря на дискретность a и b существуюттакие ψ(t), которые образуютортонормированный базис в L ₂(R). Например, ортонормированныйбазис порождает вейвлетХаара. Легко убедиться, чтосмешенные и масштабированные функ­ции Хаара ортонормированны. Кроме вейвлетов Хаара ортонормиро­ванный базисобразуют вейвлетыДобеши,Симлета,Койфлета,Мейера и др.

Используя ортонормированный базис, получим вейвлет-ряд

где коэффициенты определяются скалярными произведениями

При фиксированном уровнеразре­шения т для представления сигнала используются сдвинутыеко­пии вейвлета содинаковым масштабом, а = 2 ^m. Приуменьшении уровня разрешения т на 1 используютсясжатые вдвое вейвлеты иряд позволяет описать более высокочастотныесоставляющиеанализируемого сигнала.

Используяскалярное произведение, поаналогии с интегралом Фурьеописание сигналов, принадлежащих L ₂(R),можно также дать с помощью масштабно-временного непрерывноговейвлет - преобразования (НВП)

(*)

где — вейвлет.

Масштаб и сдвиг изменяются непрерывно. Отметим, что в выражении (4) можно использовать ортогональные, неортогональные и комплексные вейвлеты.

Формулу (*) можно использовать для определения коэффициен­тов d_m,k вейвлет-ряда. Для определения d_m,k достаточно в вместо a и b подставитьих дискретныезначения.

Для того чтобы обратно получить s (t)из результата масштабно-временного НВП — функции, вейвлетψ(t)должен допол­нительно удовлетворять следующему условию

где через ψ(ω)обозначенопреобразование Фурье для вейвлетаψ(t).

Если условие выполнено, то имеется формула обратногонепрерывноговейвлет-преобразования (ОНВП)

Здесь сигнал s (t)выражается через сумму бесконечно большого числа бесконечно малых по величине базисных вейвлетов с ве­сами.