Производная. Рассмотренные выше две задачи имели разные формулировки

 

            Рассмотренные выше две задачи имели разные формулировки. Однако в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь одной схемы. В применении к произвольной функции f и любой точки X ₀ ее области определения эта схема может быть описана следующим образом.

1) с помощью формулы, задающей функции f, находим ее приращение в точке X ₀:

                     

                           Δf = f (х₀ + Δх) – f(х₀).

2) находим выражение для разностного отношения :

                    , которое затем преобразуем – упрощаем, сокращаем на Δх и т. п.

3) выясняем, к какому числу стремится , если считать, что Δх стремится к нулю.

Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой) скоростью изменения функции f в точке х₀ или (что более принято) производной функции f в точке х₀.

                                   

Определение. Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение

при Δх, стремящемся к нулю.

    Производная функции f в точке х₀ обозначается х), у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж.

Пример 1. Найдем производную функции f(х) = 5х + 3 в точке х₀.

    Будем действовать по описанной выше схеме.

1) Δf = 5(х₀ + Δх) + 3 – (5х₀ + 3) =                раскрываем скобки

   = 5х₀ +5· Δх + 3 – 5х₀ – 3 =                  проводим сокращение

   = 5Δх

2)  При Δх → 0 получаем, что х) = 5.

 

 

Пример 3. Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции f(х) = х².

Решение:

Аргументу х дадим приращение ∆ х, тогда

∆f = f(x + ∆х) – f(x)=

= (x +∆х)² – х² =

= х²+ 2∙х∙∆х + (∆х)² – х² = 2∙х∙∆х + (∆х)² = ∆х∙(2х +∆х)

= 2х = 2х.

Итак, (х²)′ = 2х.

 

Рассмотрев последние два примера

можно по аналогии записать, что

или, например,

 

Итак, можно сделать вывод, что производная степенной функции в общем виде записывается так:

(xⁿ) ′ = nx^n-1

 

Пример 4. Дана функция f(x)=9. Найти производную

 Действуем по описанной выше схеме:  

По определению производной   (подставляя известные значения f(х₀) и f(х₀ + ∆х)) получаем

= 9 – 9/ ∆х (при ∆х ≠ 0 и ∆х → 0) = 0 / ∆х = 0

Вместо 9 могло быть любое другое постоянное число, обозначим буквой С [це] (константа).

 

Получили формулу  - производная постоянной величины равна нулю.