2021-09-14
152
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799—1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Пусть: V1, p1и T1;
р2, V2, Т2 при одинаковой массе (рис. 6).
Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 — 1¢, 2) изохорного (изохора 1¢ - 2).
Рис. 6
В соответствии с законами Бойля — Мариотта (1) и Шарля (3) запишем:
(4)
(5)
Исключив из уравнений (4) и (5) p¢1, получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.
(6)
|
|
|
Выражение (6) является уравнением Клапейрона, в котором В — газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (6) к одному молю, использовав молярный объем Vm. Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем Vm, поэтому постоянная B будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению
(7)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (7), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р0= 1,013×105 Па, T0 = 273,15 К, Vm = 22,41×10-3 м3/моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).
От уравнения (7) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем Vm, то при тех же условиях масса m газа займет объем V= (т/М)× Vm, где М — молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т газа
(8)
где v=m/M — количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:
Исходя из этого уравнение состояния (7) запишем в виде
|
|
|
где NA/Vm = n— концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
(9)
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:
6. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ, т.е.:
1. молекулы газа движутся хаотически
2. число столкновений nстолк м/у молекулами << числа ударов о стенки сосуда
3. соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие.
Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку D S (рис. 7) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.
Импульс, получаемый стенкой, m0υ - (- т0 υ) = 2 т0 υ, где m0 — масса молекулы, υ — ее скорость.
За время D t площадки D S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием D S и высотой υ Dt (рис. 7). Число этих молекул равно nDS υ Dt (n— концентрация молекул).
Рис. 7.
Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул - 1/6 - движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную.
При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
, 
l/6 nDS υ Dt - число ударов молекул о площадку D S, движущихся в заданном направлении.
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
(10)
, 
Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями υ1,υ 2,..., υ n, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
(11)
характеризующую всю совокупность молекул таза. Уравнение (10) с учетом (11) примет вид
(12)
Выражение (12) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n=N/V, получим
| Разделим и умножим на 2 |
(13)
где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m=Nm0, то уравнение (13) можно переписать в виде
Для одного моля газа т = М (М — молярная масса), поэтому
где Vm — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pVm = RT. Таким образом,
откуда
(14)
Так как M = m0NA — масса одной молекулы, а NА — постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что
(15)
где k=R/NA— постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Приравняв левые части формул (9) и (12), находим среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы идеального газа
(16)
Она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=0 <e0> = 0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (16) раскрывает молекулярно-кинетическое тол
|
|
|
