Дискретизация аналогового сигнала

Очевидным требованием при дискретизации является наличие принципиальной возможности восстановления первоначального аналогового сигнала из последовательности его дискретных отсчетов, т.е. из дискретизированного сигнала. Рассмотрим особенности спектра дискретизированного сигнала. Этот спектр по своей форме совпадает со спектром амплитудно-модулированного импульсного колебания (АИМ-колебания), который хорошо изучен в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы» [1]. На рис. 1.4 дан график двустороннего (т.е. для области отрицательных и положительных частот) спектра A _Д(f)дискретизированного сигнала в предположении, что форма дискретизирующих импульсов, осуществляющих выборки аналогового сигнала, близка к прямоугольной. Этот спектр содержит спектр исходного аналогового сигнала и его копии, повторяющиеся с периодом f _Д. Спектр исходного аналогового сигнала расположен в полосе 2 f _B между частотами - f _B и f _B (на рис. 1.4 заштрихован). Огибающая спектра S _t(f) определяется спектром отдельного стробирующего импульса длительностью t_И.

Рис. 1.4.

Спектр дискретизированного сигнала.

График на рис. 1.4 соответствует случаю, когда f _Д> 2 f _B. Восстановление исходного аналогового сигнала x (t)при этом возможно с помощью идеального фильтра нижних частот, прямоугольная форма АЧХ которого показана на рис. 1.4 штриховой линией.

Устанавливаемое теоремой отсчетов значение частоты дискретизации

f _Д = 1/ T = 2 f _В следует считать минимально допустимым для полного восстановления напряжения u (t).

Если f _Д < 2 f _B, то восстановление исходного сигнала оказывается невозможным. При этом возникают ошибки двух родов: ошибки, связанные с усечением спектра исходного сигнала, и ошибки, связанные с наложением копий спектра, появляющихся в процессе дискретизации. Рис. 1.5 иллюстрирует происхождение этих ошибок. На этом рисунке тонкими линиями изображены огибающая спектра исходного сигнала, расположенного в диапазоне частот от нуля до f _B, и часть огибающей первой копии спектра, расположенной в районе частоты дискретизации f _Д. Жирной линией изображена огибающая суммарного спектра, образовавшегося в результате наложения (перекрытия) спектров. Идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной АЧХ K _ФНЧ выделяет составляющие спектра, расположенные в интервале Найквиста (рис. 1.5), т.е. в диапазоне частот 0 ÷ f _Д/2. При этом отсекается часть спектра исходного сигнала в диапазоне частот f _Д/2 ÷ f _B, и возникает ошибка усечения. В то же время в полосу пропускания идеального фильтра попадают составляющие от копии спектра, вызывающие эффект наложения спектров. Этих составляющих не было в исходном сигнале, что приводит к специфическим ошибкам.

Рис. 1.5.

Ошибки наложения и усечения спектров.

Рассмотренный пример иллюстрирует вывод о необходимости соблюдения требования теоремы отсчетов о соотношении между частотами f _Ди f _В. Конкретное значение отношения f _Д/2 f _В зависит от степени ограничения спектра на выходе ОФ (рис. 1.1) и может превышать единицу на десятки процентов или в несколько раз.

На рис. 1.4 представлен спектр сигнала на выходе дискретизатора. Рассмотрим теперь спектр сигнала на выходе АЦП, т.е. спектр цифрового сигнала. Если бы при переводе дискретного сигнала в цифровую форму информация обо всех его параметрах полностью передавалась цифровому сигналу, то спектры этих двух сигналов были бы идентичными. На самом деле процедура перевода дискретного сигнала в цифровую форму не предусматривает сохранение информации о форме дискретизирующего импульса в отдельной посылке. В цифровом сигнале каждая отдельная посылка представляет собой единственный числовой отсчет. Этот отсчет может соответствовать такой дискретной посылке, которая имеет единственное мгновенное значение своего уровня. Ясно, что форма такой посылки должна описываться d-функцией (называемой часто функцией Дирака) и иметь длительность, устремленную к нулю. Обращаясь к рис. 1.4, можно установить, что спектр цифрового сигнала должен содержать спектр исходного аналогового сигнала вблизи нулевой частоты и бесчисленное множество его одинаковых копий с огибающей в виде уходящей в бесконечность прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 1.6). Эти многочисленные «копии» составляющих спектра цифрового сигнала обычно называют частотными зонами и характеризуют номером зоны по номеру гармоники частоты дискретизации, вокруг которой эта зона существует. В случае, показанном на рис. 1.6, эффект наложения спектров отсутствует.