Дискретная свертка

Из теории линейных цепей известно, что выходной эффект у (t)линейного аналого­вого фильтра однозначно определяется сверткой его импульсной харак­теристики h (t)со входным воздействием x (t):

                    ,                  (2.11)

где  – знак свертки.

Функции x (t) и у (t) имеют одинаковую размерность (например, вольты), размерность h (t) – с^–1.

Дискретизация сверточного интеграла (2.11) открывает но­вые возможности в синтезе цифровых фильтров. Выражение для дискретной свертки получается при дискретизации в (2.11) непрерывных функций времени y (t), h (t), x (t)и за­мене операции интегрирования суммированием. Так как интервал дискретизации T является постоянной величиной, то y, x и h являются функциями номера отсчета и выражение для дискретной свертки принимает вид:

                                                           (2.12)

Вместо функции h (m), имеющей размерность с^–1, удобно ввести нормированную функцию h _Н(m) = h (m)· T, которая отличается от исходной импульсной характеристики только постоянным масштабным множителем. При этом (2.12) перепишется в виде:

В дальнейшем из соображений удобства мы будем опускать индекс " н " и окончательное выражение для дискретной свертки записывать в виде:

                                         (2.13)

При проведении вычислений по выражению (2.13) необходимо учитывать, что при фиксированном n значение m не может быть больше, чем n, следовательно, всегда должно выполняться неравенство (n -  m) ≥ 0.

Для цифровой RC -цепи, рассмотренной в §2.2, было выведено разностное уравнение (2.5) и изображена структурная схема фильтра. Согласно уравнению (2.5), при образовании выходного отсчета используется не только входной, но и задержанный выходной отсчет фильтра.

В структурной схеме это приводит к появлению петли обратной связи, что дало основание назвать фильтр рекурсивным.

Выражение для дискретной свертки дает возможность получить другую структурную схему цифровой RC -цепи. Покажем это.

Формула (2.13) может рассматриваться как разностное уравнение, которое устанавливает, что выходной отсчет может быть представлен в виде суммы текущего (при m = 0) и задержанных значений входного отсчета. Значения ДИХ выполняют роль коэффициентов.

Структурная схема, соответствующая такому разностному уравнению, будет содержать сумматор, блоки задержки входных отсчетов и блоки умножения на постоянные коэффициенты. Так как ДИХ этого фильтра (выражение (2.9)) имеет бесконечную протяженность во времени, то количество блоков задержки и умножения теоретически должно быть бесконечным, что физически нереализуемо. Физически реализуемый фильтр можно получить, если ограничить протяженность ДИХ. Пусть используются отсчеты ДИХ до k -того номера включительно, k £ n. Тогда на основании выражения (2.13) можно составить следующее разностное уравнение:

          (2.14)

Из (2.14) следует, что выходная последователь­ность у (n)синтезируемого цифрового фильтра образуется на выходе многовходового сумматора с числом входов k + 1. На каждый вход сумматора (кроме первого) поступает цифровая последовательность, являющаяся произведением соответст­вующего отсчета h (k)ДИХ фильтра (2.9) и задержанной входной последовательности х (n - k).

  На 1-й вход сумматора поступает входная последовательность h (0) x (n) = x (n). Результирующая струк­тура синтезированного фильтра показана на рис. 2.3.

Рис. 2.3.

Структура нерекурсивного фильтра.

Как видно из рис. 2.3, в структуре фильтра отсутствуют петли обратной связи. Такой цифровой фильтр относится к типу нерекурсивных. Ограниченность дискретной импульсной характеристики конечным числом отсчетов относит его к классу КИХ-фильтров (фильтров с конечной импульсной характеристикой).

Таким образом, для одного и того же аналогового фильтра-прото­типа (рис. 2.1) различными методами получены две различные структур­ные схемы цифровых фильтров. Сравнивая эти структуры, можно заключить, что нере­курсивный фильтр (рис. 2.3) является более сложным и требует значительно боль­шего числа блоков задерж­ки и умножителей. Другим очевидным недостатком не­рекурсивного фильтра являются ошибки в воспроизведении выходной последова­тельности у (n)из-за ограниченности им­пульсной характеристики.

Однако нерекурсивные цифровые фильтры обладают весь­ма существенными преимуществами. Основным их достоин­ством является возможность получения при определенных ус­ловиях абсолютно линейной фазовой характеристики (см. гл. 7). Требо­вания к линейности фазовых характеристик очень важны, на­пример, при обработке сигналов, информационным параметром которых является частота или фаза.

К числу других достоинств нерекурсивных цифровых фильтров относятся:

– возможность реализации ДИХ любой формы, что достигается установкой в умножителях соответствующих коэффициентов;

– абсолютная устойчивость работы, поскольку в нерекурсивных фильтрах отсутствуют обратные связи.