Комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра

Продолжим рассмотрение свойств цифровых фильтров исследованием их частотных характеристик.

В качестве примера возьмем рекурсивный фильтр, ана­логом-про­тотипом которого по-прежнему является фильтр нижних частот в виде однозвенной RC -цепи (рис. 2.1).

Чтобы получить выражение для комплексного коэффициента передачи цифрового фильтра, на его вход необходимо подать испытательное воз­действие в виде дискретизированной комплексной экспонен­ты

                          х (n) = exp(j F n),                                             ( 2.15 )

функционально эквивалентной дискретизированной синусоиде с цифровой частотой Ф = w T.

Реакция фильтра на такое воздействие будет представ­лять собой также синусоидальное колебание с той же частотой, но с другой амплитудой H (F)и фазой j(F):

                  (2.16)

Множитель

                     H (j Ф) = H (Ф)exp[ j j(F)]                                 (2.17)

представляет собой комплексный коэффициент передачи фильтра.

Модуль комплексного коэффициента передачи ½ H (j F)½ = H (F) - это ампли­тудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра; j(Ф) - фазочастотная характеристика (ФЧХ) фильтра.

Основой для определения комплексного коэффициента передачи циф­рового фильтра служит его разностное уравнение (2.5):

                     у (п) = ах (п) + bу (п - 1),                      (2.18)

где

                                                                     (2.19)

Используя (2.15) и (2.16), подставим в (2.18) выраже­ния для последовательностей х (п), у (п)и у (п -1):

 

   .   (2.20) 

Произведя в (2.20) деление левой и правой части равенства на exp(j F n) и разрешая уравнение относительно H (j F), получим:

                  .                        (2.21)

Представим комплексную экспоненту в тригонометрической фор­ме:

                 .                      (2.22)

После подстановки (2.22) в (2.21) выражение для комплексного коэффициента передачи примет вид:

               ,                      (2.23)

откуда для АЧХ цифрового фильтра получим выражение:

                                               

Пронормируем полученное выражение, поделив H (F) на H (0) = = a /(1 - b):

                                   (2.24)

Рис. 2.4.

АЧХ цифровой RC -цепи и ее аналога-прототипа.

 

На рис. 2.4 показана рассчитанная с помощью (2.24) АЧХ цифрового фильтра H_Z (f) с параметрами b = 0,5 и T = 10 мкс. На оси частот графика отмечены значения частоты f в килогерцах, а также значения круговой цифровой частоты Ф = w Т = 2p f / f _Д.На том же рисунке приведена АЧХ аналогового прототипа H _П(f), описываемая выражением:

                             .

 

При построении графика H _П(f) значение t_Ф = 14,43 мкс определялось из выражения (2.19) после подстановки в него значений b = 0,5 и T = 10 мкс.

Как видно из рис. 2.4, в отличие от аналогового фильтра-прототипа АЧХ циф­рового фильтра периодична по цифровой частоте. При использовании круговых цифровых частот период равен: F = 2p. Периодичность АЧХ можно объяснить следующим образом.

Вспомним (глава 1), что спектр сигнала на входе цифрового фильтра содержит спектр исходного аналогового сигнала и копии этого спектра, повторяющиеся на частотах, кратных f _Д. Поскольку спектр выходного цифрового сигнала обладает тем же свойством периодичности, то цифровой фильтр должен в одинаковой степени деформировать как спектр исходного сигнала, так и его копии. Такая обработка возможна только с помощью пе­риодической АЧХ.

Из рис. 2.4 видно, что АЧХ цифрового фильтра практически совпадает с АЧХ аналога-прототипа только в области частот, близких к нулю. С увеличением частоты появляются заметные отличия, возрастающие при приближении к верхней границе интервала Найквиста (F ® p). Эти отличия могут быть объяснены, если вспомнить известное положение из курса "Радиотехнические цепи и сигналы": "АЧХ линейного фильтра повторяет форму амплитудного спектра его импульсной характеристики". Естественно, это положение относится и к линейным цифровым фильтрам. Дискретная импульсная характеристика (ДИХ) цифрового фильтра представляет собой цифровую последовательность с фиксированным началом, т.е. последовательность, ограниченную во времени, по крайней мере, с одной стороны. Это обстоятельство приводит к тому, что спектр ДИХ бесконечен, а при таком спектре неизбежно появление ошибок наложения (см. §1.2 и рис. 1.5). Поскольку АЧХ цифрового фильтра повторяет форму спектра ДИХ, то возникает наложение АЧХ цифровых фильтров. Наложение АЧХ приводит к их искажению и отклонению от АЧХ аналога-прототипа.

Количественной мерой ошибок наложения может служить отношение

                            q (F) = H_Z (F)/ H _П(F),                                     (2.25)

где H_Z (F) определяется из (2.24), а АЧХ аналогового прото­типа H _П(F) представлена как функция круговой цифровой частоты.

В рассматриваемом примере выражение для H _П(F) полу­чается при следующих преобразованиях исходной записи АЧХ прототипа:

                              (2.26) 

Имея в виду, что w T =F, выражение (2.26) перепишем в виде

                                                     (2.27)

где a = T /t_F = -ln b.

Подставив (2.24) и (2.27) в (2.25), получим

                                                 (2.28)

В качестве примера определим q для АЧХ, приведенных на рис. 2.4. Они, как было сказано выше, построены при следующих значениях параметров: b = 0,5; T = 10 мкс; t_Ф = 14,43 мкс; a = 0,693. Расчет проведем для частот f = f _С = 1/2pt_F = 11 кГц и f = 2 f _С = 22 кГц. Соответствующие цифровые частоты равны: F_С = 0,693 и 2F_С = 1,386. Приведем результаты расчета: при f = f _С: q = 1,02; при f = 2 f _С: q = 1,08. Таким образом, с ростом частоты среза различие между цифровой и аналоговой АЧХ увеличивается.

В заключение отметим, что при рассмотрении цифровой обработки сигналов следует иметь ввиду три вида эффектов наложения:

 

1. Эффект наложения спектров.

2. Эффект наложения колебаний.

3. Эффект наложения АЧХ.

Как было показано выше, эти эффекты приводят к появлению специфических ошибок, которые могут быть существенно уменьшены, если правильно выбрать частоту дискретизации и установить на входе

 

УЦОС ограничивающий фильтр.