Напряжения

Основные виды деформаций.

В частном случае в поперечном сечении стержня могут возникать:

1. Только продольная сила N. Этот случай нагружения называется растяжением (если сила N направлена от сечения) или сжатием (если продольная сила направлена к сечению).

2. Только поперечная сила Q_x или Q_y. Это случай сдвига.

3. Только крутящий момент T. Это случай кручения.

4. Только изгибающий момент M_x или M_y. Это случай изгиба.

5. Несколько усилий, напри­мер изгибающий и крутящий моменты. Это случаи сложных деформаций ( или сложного со­противления).

Если число неизвестных усилий равно числу уравнений рав­новесия, задача называется статически определимой, если же число неизвестных усилий больше числа уравнений равнове­сия — статически неопределимой.

Для статически неопределимых задач кроме уравнений рав­новесия необходимо использовать еще дополнительные уравне­ния при рассмотрении деформации системы.

В поперечном сечении стержня действуют не сосредоточенные внутренние усилия N, Q, T и т.д., а непре­рывно распределенные силы, интенсивность которых может быть различной в разных точках сечения и в разном направлении.

Как же измерить интенсивность внутренних сил в данной точке данного сечения, например в точке В (рис. 8)?

Рисунок 8

Выделим вокруг точки В малую площадку ΔА. Пусть ΔR — равнодей­ствующая внутренних сил, действую­щих на эту площадку.

Тогда среднее значение внутрен­них сил, приходящихся на единицу площадиΔА рассматриваемой площадки, будет равно

р_m= ΔR / ΔА. (1)

Величина р_m называется средним напряжением. Она ха­рактеризует среднюю интенсивность внутреннихсил. Уменьшая размеры площади, в пределеполучим

. (2)

Величина р называется истинным напряжением или просто напряжением в данной точке данного сечения. Упрощенно мож­но сказать, что напряжением называется внутренняя сила, при­ходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения.

Как видно из формул ( 1 ) и (2), размерность напряжения [сила] / [площадь]. Единица напряжения–Паскаль, сокращенно Па=Н/м².

Так как при этом реальные значения напряжений будут выражаться очень большими числами, то следует применять крат­ные значения единиц, например МПа (мегапаскаль)=10⁶ Па.

Рисунок 9

Полное напряжение р можно разложить на две составляю­щие (рис. 9, а):

1) составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая обозначается σ и называется нормальным напря­жением;

2) составляющую, лежащую в плоскости сечения. Эта со­ставляющая обозначается τ и называется касательным напря­жением. Касательное напряжение в зависимости от действую­щих сил может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства τ представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей (рис. 9, б).

Принятые обозначения напряжений показаны на рис. 9, б. У нормального напряжения ставится индекс, указывающий, какой координатной оси параллельно данное напряжение. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее — отрицательным. Обозначения касательных на­пряжений снабжены двумя индексами: первый из них указыва­ет, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данно­го напряжения, а второй — какой оси параллельно само напря­жение.

Разложение полного напряжения на нормальное и касатель­ное имеет определенный физический смысл. Нормальное напря­жение возникает, когда частицы материала стремятся отдалить­ся друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напря­жения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечного малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 10.

Рисунок 10

Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела, называет­ся напряженным состоянием в данной точке.

Если по граням кубика действуют одни только нормальные напряжения, то они называются главными, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками.

В каждой точке напряженного тела существуют три главные взаимно перпендикулярные площадки. Главные напряжения обозначают σ₁, σ₂ и σ₃. При этом большее (с учетом знака) главное напряжение обозначается σ₁, а меньшее (с учетом знака) обозначается σ₃.

Различные виды напряженного состояния классифицируют­ся в зависимости от числа возникающих главных напряжений.

Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным ( рис. 11).

Если равно нулю одно из главных напряжений, тонапряжен­ное состояние называется двухосным или плоским.

Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным.

Зная напряженное состояние в любой точке детали, можно оценить прочность этой детали.

Рисунок 11

В простейших случаях оценка прочности элементов кон­струкций производится или по наибольшему нормальному на­пряжению, или по наибольшему касательному напряжению (расчет на сдвиг),так что условие прочности записывается в виде

σ_max ≤ [σ] (3)

или

τ_max ≤[τ] ( 4 )

где [σ] и [τ] — допускаемые значения нормального и каса­тельного напряжений, зависящие от материала и условий рабо­ты рассчитываемого элемента.

Величины [σ] и [τ] выбираются с таким расчетом, чтобы была обеспечена нормальная эксплуатация конструкции.

В более сложных случаях оценка прочности производится по приведенному напряжению в соответствии с той или иной гипо­тезой прочности.