Лекция 6 Типы задач при расчете на прочность

Рисунок 2

Рисунок 1

Пример

Типы задач при расчете на прочность

ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

План лекции:

5.1 Общие методы расчета элементов конструкции:

a) Расчет по допускаемым напряжениям

b) Расчета по предельной нагрузке

c) Р асчет по допускаемым перемещениям

1. Общие принципы расчета элементов конструкции

В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям надеж­ности, которые к ней предъявляются. Для этого необходимо, прежде всего, сформулировать те принципы, которые должны быть положены в основу оценки условий достаточной надежности. Без этого анализ конкретной конструкции сам по себе не может иметь целевого назначения. Так, если в конструкции определяются напряжения, надо предвари­тельно четко представить себе, зачем это нужно и что с найденными напряжениями надлежит делать в дальнейшем. Точно так же, если определяется форма деформированного тела, надо заранее наметить путь дальнейшего использова­ния полученного результата в оценке надежности конструк­ции. Все эти вопросы находят свое решение в выборе общего метода расчета.

Наиболее распространенным методом расчета деталей машин и элементов сооружений на прочность является рас­чет по напряжениям. В основу этого метода положено пред­положение, что критерием надежности конструкции яв­ляется напряжение или, точнее говоря, напряженное состоя­ние в точке.

Рассмотрим стержень с выточкой, пред­ставленный на рис.1, а. Можно показать, что при растя­жении такого стержня напряжения в точках А, располо­женных у вершины выточки, будут заметно больше, чем для гладкого стержня, растянутого теми же силами (рис. 1, б).

Если исходить из метода напряжений, то следует сделать вывод, что стержень с выточкой менее прочен, т. е. способен выдержать нагрузку меньшую, чем гладкий стержень. Од­нако это не всегда так. Для некоторых материалов, таких, как высокоуглеродистая сталь, стекло, камень и другие им подобные, стержень, имеющий выточку, действительно ока­зывается менее прочным, чем гладкий стержень. В случае, если оба стержня изготовлены из малоуглеродистой стали, меди, бронзы или алюминия, стержень с выточкой, вопреки ожиданиям, выдерживает не меньшую, а большую на­грузку. Таким образом, напряжения в точке не всегда и не полностью характеризуют условия разрушения кон­струкции.

В связи со сказанным в некоторых случаях используется метод расчета по разрушающим нагрузкам. В этом методе путем расчета определяются не напряжения, а наводится предельная нагрузка, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь или не изменяя существенно свою форму. Предельная (разрушающая) нагрузка сопоставляет­ся с рабочей нагрузкой, и на основании этого делаются выводы о степени прочности конструкции в рабочих усло­виях. Этот метод обладает тем недостатком, что расчетное определение разрушающей нагрузки возможно только в наиболее простых конструкциях.

Методы расчета выбираются в зависимости от условий работы конструкций и требований, которые к ней предъяв­ляются. Если необходимо добиться наименьших изменений формы конструкции, например, при проектировании отража­теля прожектора или системы зеркал астрономического при­бора, производится расчет по допускаемым перемещениям, или, как говорят, расчет на жесткость. Это не исключает, понятно, одновременной проверки системы на прочность по напряжениям.

Наряду с упомянутыми методами расчета существуют многие другие методы, связанные с качественно отличными явлениями, такими, как устойчивость, эффект повторных нагрузок, динамическое воздействие и др.

2. Коэффициент запаса

В результате испытания на растяжение и сжатие мы по­лучаем основные данные о механических свойствах мате­риала. Теперь рассмотрим вопрос о том, как использовать полученные результаты испытаний в практических расче­тах инженерных конструкций на прочность.

Как уже указывалось выше, основным и наиболее распро­страненным является метод расчета по напряжениям. Сог­ласно этому методу расчет на прочность ведется по наиболь­шему напряжению σ_max, возникающему в некоторой точке нагруженной конструкции. Напряжение σ_max называется максимальным рабочим напряжением. Оно не должно пре­вышать определенной величины, свойственной данному ма­териалу и условиям работы конструкции.

Расчет по напряжениям ведется посхеме

где σ_L — некоторое предельное для данного материала напряжение, а п— число, большее единицы, называемое коэффициентом запаса или просто запасом.

Обычно бывает так, что размеры конструкции уже известны и назначены, например, из эксплуатационных соображений или сообра­жений технологичности. Расчет на прочность является по­верочным. В этом случае подсчитывается σ_max и определя­ется фактический коэффициент запаса:

Если этот запас удовлетворяет конструктора, считается, что поверочный расчет дал положительный результат.

Когда конструкция находится в стадии проектирования и некоторые характерные размеры должны быть назначены непосредственно из требований прочности, значение п за­дают заранее. Искомый размер получают из условия

σ_max ≤ [σ],

где

.

Эта величина называется допускаемым напряжением.

Остается решить вопрос, какое напряжение принимать за предельное (σ_L) и как назначать величину n.

Для того чтобы избежать в работающей конструкции образования заметных остаточных деформаций,за величину σ_L для пластичных материалов принимается обычно предел текучести. Тогда наибольшее рабочее напряжение составляет n-ю долю от σ_т (рис. 2). Коэффициент в этом случае обозначается через n _т и называется коэффициентом запаса по текучести. Для хрупких, а в некоторых случаях и для умеренно пластичных материалов за σ_L принимается предел прочности σ_вр. Тогда получаем

,

где п_в — коэффициент запаса по пределу прочности.

Как говорилось выше, расчет по напряжениям не явля­ется единственно возможным.

Если расчет ведется по предельной нагрузке, то аналогично может быть введено понятие запаса по предельной нагрузке

,

где P_L и Р_раб — предельная и рабочая нагрузки.

В случае расчета на жесткость

n= δ_L / δ _раб ,

где δ_L и δ _раб — предельное и рабочее перемещения.

3. Типы задач при расчете на прочность

Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня и установив допускаемое напряжение в соответствии с соображениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемыми:

σ = N/A ≤ [σ]

Здесь имеется в виду допускаемое напряжение или на растя­жение или на сжатие в зависимости от того, с каким случаем мы имеем дело — с растяжением или сжатием.

Это неравенство называется условием прочности при растяжении (сжатии).

Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т. е. определять по задан­ным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактиче­ские напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактиче­ские напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ±5 %. Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетель­ствует о перерасходе материала. Фактический запас прочности определяется как отношение п= σ _т / σ, (для пластических мате­риалов) или п=σ _в / σ (для хрупких материалов).

2. Определять (по известным нагрузке и допускаемому на­пряжению) размеры поперечного сечения стержня, требуемые по условию его прочности:

A ≥ N / [ σ]

3. Определять допускаемую продольную силу по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускае­мому напряжению:

[N] ≤ A [σ]

Определив допускаемую продольную силу и установив связь между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку,

Следует иметь в виду, что сжатые стержни кроме расчета на прочность в наиболее ослабленном сечении должны также рас­считываться на устойчивость, так как при определенном значе­нии сжимающей силы может произойти выпучивание (продоль­ный изгиб) сжатого стержня.

Литература

Основная

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач, издание «Демеу» Алматы, 1992, 204 с.