2014-02-09
1594
Теорема 1 (теорема Ролля). П усть функция 
непрерывна на отрезке 
,дифференцируема на интервале 
и на концах отрезка 
принимает равные значения:
| (1) |
Тогда существует такая точка 
, что
 .
| (2) |
Замечание 1. Прежде чем доказывать эту теорему отметим, что из геометрических соображений её утверждение очевидно: если выполняется равенство (2) и другие условия теоремы, то найдется такая точка , что в соответствующей точке 
графика функции 
касательная к графику параллельна оси абсцисс и,следовательно тангенс её угла наклона к этой оси равен нулю, что равносильно (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) функция ограничена на
отрезке . Следовательно числа
|
и
|
конечны.
Если 
, то очевидно функция является постоянной на отрезке . Тогда в качестве точки , для которой имеет место (2), можно взять любую точку интервала 
.
Пусть 
. Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств
| (3) |
и
| (4) |
Пусть, например, имеет место последнее из них. По второй теореме
|
|
|
Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции 
, при этом в силу (4) 
и 
, т.е. . По определению числа 
точка является точкой локального максимума функции (и даже точкой глобального максимума этой функции). Поэтому по теореме Ферма для неё имеет место равенство (2) □
Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке 
и дифференцируема на интервале 
.Тогда найдется такая точка , что
 .
| (5) |
Замечание 2. Терема 2 также имеет простой геометрический смысл. При выполнении ее условий для хорды графика функциис концами в точках 
и 
, на графике найдется такая точка 
, 
, касательная в которой к графику параллельна этой хорде.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
|
Она очевидно непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале 
и на концах отрезка принимает равные значения: 
.Тогда по теореме Ролля 
,т.е.
 ,
|
а это равносильно равенству (5)□
Замечание 3. Формулу (5) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Очевидно, она может быть записана в виде
 
| 
|
Для этого достаточно положить в (5) 
, 
, a 
выбрать из условия 
, т.е. положить 
. Нетрудно видеть, что формула верна как при 
, так и при 
□
Теорема 3 (Коши). Пусть функции и 
непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда 
:
| (6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о.Рассмотрим функцию
|
Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой 
,т.е.
что равносильно равенству (6). □
