Исследование функций методами дифференциального исчисления

n^o1. Правило Лопиталя.

Ниже будут приведены теоремы, с помощью которых удобно находить пределы вида , где функции и одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при . Рецепт отыскания этих пределов, который содержится в этих теоремах, носит название правила Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале ,

(1)

и на .

Тогда если существует конечный или бесконечный предел

(2)

то существует и предел , причем

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся доказательством для случая, когда интервал конечен. Доопределим функции и в точке , положив

А тогда, каково бы ни было , в силу дифференцируемости этих функций на интервале они будут непрерывными на отрезке . Следовательно, на всяком таком отрезке функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении. Поэтому на любом таком отрезке существует такая точка , что

(4)

Заметим, что здесь по условию теоремы . Кроме того, в силу теоремы Ролля . Действительно, в противном случае, по этой теореме, нашлась бы такая точка , что , а так как , (поскольку ), то это означает, что . Но это противоречит условию теоремы о том, что на .

Из сделанных выше замечаний следует, что равенство (4) можно переписать в виде

.

Но, так как , то это равенство равносильно равенству

.

Учитывая теперь (2) и то, что при , в силу последнего равенства и теоремы о пределе суперпозиции, будем иметь

□

Замечание 1. Утверждение теоремы сохраняет свою силу если условие заменить на условие .

Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале ,

и на .

Тогда если существует конечный или бесконечный предел

то существует и равный ему предел

.

n^o2. Условия монотонности функции.

Теорема 1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда имеют место следующие импликации:

⇒ ⇒ , (1)

⇒ ⇒ , (2)

⇒ ⇒ , (3)

⇒ ⇒ . (4)

⇒ ⇒ , (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что (5) следует из (2) и (3). Следовательно нужно доказать лишь (1)-(4).

Левые импликации в (1)-(5) доказываются на основе формулы конечных приращений Лагранжа. Выберем произвольные точки . По теореме Лагранжа найдется такая точка , что

Отсюда, в частности, следует, что если , то . В силу произвольности выбранных точек , это означает, что функция возрастает на . Таким образом, доказана левая из импликаций (1). Аналогично доказываются левые импликации в (2)-(4).

Правые импликации в (1)-(4) доказываются на основе определения производной. Пусть, например, функция возрастает на . Тогда для любого и любого такого, что имеем

.

Переходя здесь к правостороннему пределу в точке , по теореме о предельном переходе в неравенстве получим

.

Так как выше точка была выбрана произвольно, то это означает, что имеет место правая из импликаций (1). Аналогично доказываются правые импликации в (2)-(4) □

Замечание 1. Импликации (2), (3) и (5) для дифференцируемой на интервале функции имеют смысл необходимых и достаточных условий и могут быть записаны в виде:

⇔

(2’)

⇔

(3’)

⇔

(5’)

Вместе с тем отметим, что левые из импликаций (1) и (4) не обратимы, что иллюстрирует приводимый ниже пример.

Пример 1. Функция , очевидно, является возрастающей на всей вещественной оси, т.е. на интервале , но . Таким образом, условие является достаточным, но не необходимым условием того, чтобы функция была возрастающей на интервале . Аналогично, если рассмотреть функцию , то легко убедиться, в том, что условие является достаточным, но не необходимым условием того, чтобы функция была убывающей на интервале .

n^o3. Условия экстремума функции.

Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.

Теорема 2. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней локальный экстремум, то либо функция не дифференцируема в точке , либо

(1)

Определение 1. Если дифференцируемая в точке функция удовлетворяет условию (1), то эта точка называется стационарной точкой функции .

Следующая очевидная теорема доставляет достаточное условие локального экстремума функции, а также достаточные условия отсутствия этого экстремума.

Теорема 3. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в самой точке и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Тогда если при “переходе” через точку “слева на право” производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет локальный максимум. Если же при таком переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке она имеет локальный минимум. Наконец, если при переходе через точку производная не меняет своего знака, то в этой точке нет локального экстремума.

Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных). Пусть функция раз дифференциркема в точке (). Тогда если

(2) и , то при нечетном в точке нет локального экстремума, а при четном есть, при этом в последнем случае (т.е. при , ) если , то в этой точке она имеет локальный максимум, а если , то в она имеет в ней локальный минимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условия (2) локальная формула Тейлора функции в точке имеет вид

,

а поскольку , где при , то ее можно переписать в виде

.

(3)

Так как при и , то в достаточно малой окрестности точки знак выражения, стоящего в квадратных скобках в формуле (3), будет совпадать со знаком производной . Поэтому при переходе через точку правая, а значит и левая часть формулы (3) будет менять свой знак тогда, когда меняет свой знак многочлен . Очевидно при нечетном он вместе с разностью

(4) свой знак меняет при переходе через точку , а при четном он вместе с этой разностью знака не меняет.

Теперь заметим, что если разность (4) при переходе через точку меняет свой знак, то в точке , очевидно, нет локального экстремума, т.е. его нет при нечетном. Если же она не меняет своего знака при переходе через эту точку, то в ней есть локальный экстремум, т.е. он есть при четном.

Далее, если при переходе через точку разность (4) остается положительной, то, очевидно, точка - точка локального минимума функции . А это имеет место при четном и положительной производной . Наконец, если при переходе через точку разность (4) остается отрицательной, то, очевидно, точка - точка локального максимума. Последнее условие, в свою очередь, выполнено когда - четное, а □

n°4. Условия выпуклости функции.

Определение 2. Функция называется выпуклой (соотв., вогнутой) на промежутке , если для любых и любых таких, что имеет место неравенство:

(соотв., ).

(1)

При этом, если это неравенство является строгим при и , то функция называется строго выпуклой (строго вогнутой).

Замечание 1. В этом определении без ущерба для общности можно считать, что и . Эти неравенства далее предполагаются выполненными.

Замечание 2. Геометрически условие (1) означает, что любая дуга графика функции лежит под хордой, стягивающей эту дугу (см. рис.1)

Рис.1

Аналогичное условие вогнутости функции означает, соответственно, что любая дуга графика функции лежит над хордой, стягивающей эту дугу.

Замечание 3. Очевидно, фунуция является вогнутой в том и только том случае, когда функция является выпуклой. Поэтому далее мы ограничимся изучением только выпуклых функций, при этом утверждения, устанавливаемые ниже для выпуклых функций, читателю предлагается самостоятельно переформулировать для вогнутых функций.

Теорема 5. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была выпуклой (строго выпуклой) на нем необходимо и достаточно, чтобы её производная была неубывающей (соответственно, возрастающей) на интервале функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , , , , . Положим . Тогда нетрудно видеть, что

,

(2)

Поэтому неравенство (1) можно переписать в виде

В свою очередь, так как , то последнее неравенство равносильно следующему неравенству:

Наконец, так как , то из предыдущего следует, что:

(3)

Устремляя здесь сначала к , а затем к , в итоге получим:

.

В силу произвольности точек , , это неравенство означает, что производная выпуклой функции на интервале является неубывающей на этом интервале функцией.

Пусть теперь функция - строго выпуклая на интервале . Тогда легко заметить, что неравенство (3) будет строгим. Поэтому, с учетом монотонности производной , на основе теоремы Лагранжа получим

,

где . Таким образом, строгая выпуклость функции влечет строгую монотонность ее производной , точнее гарантирует, что она является возрастающей на интервале функцией. Следовательно, необходимость условия теоремы доказана.

Докажем достаточность. С этой целью заметим, что как следует из вывода неравенства (3) оно при условии (2) равносильно неравенству (1). Поэтому нетрудно видеть, что функция является выпуклой на интервале тогда и только тогда, когда для любых , и любого имеет место неравенство (3).

Пусть Тогда по теореме Лагранжа:

, где , и если производная не убывает (возрастает) на интервале , то (), а значит, имеет место и неравенство (3), которое в силу произвольности точек и , удовлетворяющих неравенствам гарантирует выпуклость (строгую выпуклость) функции на □

Из теорем 1 и 4 вытекает следующее

Следствие. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на интервале функция была выпуклой на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы

.

Если же

,

то этого достаточно, чтобы функция была строго выпуклой на интервале .

Отметим без доказательства еще один интуитивно ясный, геометрический критерий выпуклости (строгой выпуклости) дифференцируемой функции.

Теорема 6. Дифференцируемая на интервале функция является выпуклой на нем тогда и только тогда, когда ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной к нему касательной. В свою очередь для строгой выпуклости дифференцируемой на интервале функции необходимо и достаточно, чтобы все точки ее графика лежали выше любой проведенной к нему касательной за исключением самой точки касания.

В заключение этого параграфа коснемся так называемых точек перегиба графика.

Определение 3. Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если существует такое , что на интервале функция строго выпукла (строго вогнута), а на интервале , напротив, строго вогнута (соотв., строго выпукла), то точка ее графика называется точкой перегиба.

Таким образом, можно сказать, что при переходе через точку перегиба меняется направление выпуклости графика функции, при этом график функции как бы переходит с одной стороны касательной в этой точке на другую ее сторону.

Если точка является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке функции , то в соответствии с определением 3 и теоремой 5 точка – точка локального экстремума производной и поэтому по теореме Ферма . Это условие, таким образом, является необходимым условием того, чтобы точка была точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции .

В свою очередь, в силу определения 3 и теоремы 5, если в некоторой левосторонней проколотой окрестности точки вторая производная имеет один знак, а в соответствующей правосторонней проколотой окрестности она имеет другой знак, то этого достаточно для того, чтобы точка была точкой перегиба.

Глава 4. Интегральное исчисление функций одной переменной