2014-02-09
3133
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
(1)
(2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. 
Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Этот признак остается в силе, если неравенства 
выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п = N.
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел 
, то оба ряда 
, 
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Радикальный признак Коши. Если для ряда
существует 
= q, то этот ряд сходится при q <1 и расходится при q >1.
Признак Даламбера. Если для ряда
существует 
, то этот ряд сходится при k <1 и расходится при k >1.
Интегральный признак Коши. Если f(x) при 
- непрерывная, положительная и монотонная убывающая функция, то ряд 
, где 
сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму 
(знаменатель геометрической прогрессии). Следовательно
|
|
|
Пример. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение: Член данного ряда меньше соответствующих членов ряда 
, т.е. ряда 
Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого 
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Здесь удобно применить признак Коши, поскольку 
а предел
т.к. 
то ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
.
Решение: Применим признак Даламбера: имеем
