Признаки сходимости несобственных интегралов

1. Признак сравнения. Если при x ≥ a выполнены неравенства

0 ≤ j (x) ≤ f (x)

то:

а) из сходимости следует сходимость ;

б) из расходимости следует расходимость .

2. Предельный признак сравнения. Если f(x) и φ(x) непрерывны и знако­постоянны на [ a, ∞ ] и

то оба интеграла и сходятся либо расходятся одновре­менно.

3. Абсолютная сходимость. Если несобственный интеграл

сходится, то сходится и интеграл и последний в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Аналогичные признаки имеют место для несобственных интегралов от неограниченных функций.

П р и м е р. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Рассмотрим функцию

Интеграл сходится.

В силу предельного признака сравнения 2 исходный интеграл сходится.

2.8. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры

1.1. Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции y = f (x), может быть вычислена по формуле .

1.2. Если f ₂(x) > f ₁(x)на отрезке [ a, b ], f ₁(x), f ₂(x) − непрерывные функ­ции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками фун­к­ций y = f ₁(x), y = f ₂(x) вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция f (x) на отрезке [ a, b ] принимает значения разных зна­ков, то площадь фигуры, заключенная между кривой y = f (x) и осью OX, равна (рис. 11).

Рис. 10 Рис. 11

П р и м е р. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y (x) = x и y (x) = 2 − x ².

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему