Область сходимости степенного ряда

Здесь возможны три случая:.

1. Область сходимости и состоит только из одной точки х=0. Другими словами, ряд расходится для всех значений х кроме одного. Этот случай может быть иллюстрирован рядом:

Действительно, если х фиксировано и х>О, то, начиная с достаточно большого n, будет >1, откуда вытекает неравенство >1 означающее, что общий член ряда не стремится к нулю.

2. Область сходимости состоит из всех точек оси ОХ, другими словами, ряд сходится при всех х. Рассмотрим ряд:

Для любого х, с.достаточно большого п, будет. Так как:

и т.д.,

то начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, при всяком х ряд сходится.

3. Область сходимости состоит больше чем из одной точки оси ОХ, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости. Например, ряд:

1+х+х² +...+хⁿ+..,

представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем х, сходится при |х|<1 и расходится при |x|>l.

В третьем случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки расходимости.

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R(|x|<R),ряд абсолютно сходится, а для всех х, по модулюбольших R(|x|>R), ряд расходится.

Что касается значений x=R и x=-R, то здесь могут осуществляться различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной.

При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно. Определение 19.3 Радиусом сходимости степенного ряда (19.2) называется такое число R, что для всех х, \х\ < R степенной ряд сходится, а для всех >R, расходится. Интервал от х=-R до x=R называется интерваломсходимости. Условия для рядов, расходящихся при всех x кроме х=0, считать R=0, а для рядов, сходящихся при всех х, считать R=0.

Для степенных рядов вида (19.5) все сказанное выше остается в силе с той только разницей, что теперь центр интервала сходимости будет интервал (х₀ - R,x₀ + R).

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда. Пусть имеем ряд:

а₀ +a_lx+a₂x² +... + a_n_-1xⁿ^-1+a_nxⁿ +...

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: