Понятие о расширениях комплексно-частотных характеристик. Расчет настройки регуляторов

При исследованиях и расчете настроек систем автоматического управления, требующих соблюдения системой заданной степени устойчивости или колебательности, можно воспользоваться обобщенным критерием устойчивости Найквиста. Для возможности пользования им необходимо оперировать не с обычными комплексно-частотными характеристиками разомкнутой системы, а с расширенными комплексно-частотными характеристиками, полученными из передаточной функции системы заменой символа дифференцирования р на комплексную переменную (-a±iw).

В этом случае требование соблюдения заданной степени устойчивости сводится к тому, что значение комплексной переменно определяется величиной степени устойчивости системы «h», т.е. (-a±iw)=-h±iw, а при расчете систем управления на заданную степень колебательности – «т» значение комплексной переменной соответственно равно: (-a±iw)=-тw±iw.

К полученной в результате этих преобразований расширенной комплексно-частотной характеристике разомкнутой системы может быть применен рассмотренный выше комплексно-частотный критерий устойчивости, формулированный следующим образом: если степень устойчивости (или степень колебательности) разомкнутой системы управления больше, чем заданное ее значение после замыкания или равна ей, то степень устойчивости (или степень колебательности) замкнутой системы будет также больше ее заданного значения, если соответствующая расширенная комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точки с координатами -1,i0.

При практических расчетах АСУ с учетом соблюдения заданного запаса устойчивости обычно используется ограничение на величину заданной степени колебательности, принимая ее равной величине т=0,366, что соответствует степени затухания y=0,9.

Тогда расчет настройки регуляторов (при ограничении на величину «т») сводится к следующему:

1. Находится передаточная функция регулируемого объекта, используя один из рассмотренных выше экспериментальных методов (§ 1-10).

2. В выражении для передаточной функции заменяется символ дифференцирования р на комплексную величину (-тw±iw), найдя и построив тем самым исходную расширенную комплексно-частотную характеристику регулируемого объекта.

3. Задаваясь радом значений частот, в плоскости параметров настройки регулятора, осуществляется расчет области (рис. 1 – 66) заданного запаса устойчивости регулятора по формуле:

. (1-90)

Это выражение вытекает из требования комплексно-частотного критерия устойчивости, утверждающего, что для соблюдения системой заданного запаса устойчивости необходимо, чтобы расширенная комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы (представляющая собой произведение расширенной комплексно-частотной характеристики регулятора и объекта) не охватывала точку -1,i0, т.е.

. (1-91)

4. На границе области заданного запаса устойчивости (рис. 1 – 66) ищется такое оптимальное значение параметров настройки регулятора (например, для ПИ-регулятора, коэффициента усиления – К_р и времени изодрома Т_и), при котором будет соблюдаться наилучшее качество регулирования, определяемое требованием технологии производства, при соблюдении заданного запаса устойчивости системой. В частности, если на систему действуют низкочастотные возмущения, то оптимальным параметрам настройки ПИ-регулятора соответствует нахождение точки в верхней правой части на границе области заданного запаса устойчивости (выделенный участок).

5. Для найденных оптимальных параметров настройки регулятора расчетным путем или с помощью аналоговых вычислительных машин проверяется качество работы систем управления.

§ 1-17 Расчет настройки ПИ-регуляторов при ограничении на величину максимума амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы («М»)

Предлагаемый способ настойки удобен для пользования при наличии полученных экспериментально частотных характеристиках регулируемого объекта и не требует нахождения расширенных КЧХ.

Как и ранее, в основе этого способа настройки лежит комплексно-частотный критерий устойчивости.

Действительно, если обратить внимание, что комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы определяется из выражения:

, (1-92)

то, следовательно, для определения устойчивости заданной системы по известной КЧХ объекта достаточно ее умножить на КЧХ регулятора при предлагаемых параметрах настройки и посмотреть, охватывает ли полученная КЧХ разомкнутой системы точку с координатами -1,i0 на комплексной плоскости или нет.

Для широко распространенных в промышленности ПИ-регуляторов выражение (1-92) расшифровывается следующим образом:

. (1-93)

Полагая, что к_р=1, из выражения (93) получаем:

. (1-94)

Таким образом, чтобы получить комплексно-частотную характеристику разомкнутой системы с ПИ-регулятором, полагая, что к_р=1 и Т_и=const, достаточно к каждому вектору (на каждой частоте) комплексно-частотной характеристики регулируемого объекта W_об(iw) добавить вектор длиной (рис. 1 – 67), повернутый на угол -90⁰ по часовой стрелке (ПИ-регулятор создает отставание по фазе -90⁰).

Теперь, для известного Т_и=const, требуется лишь найти такое значение к_р, при котором W_pc(iw) не зайдет в «запретную» область, ограниченную окружностью с принятым индексом «М» (обычно берут М=1,62, что соответствует степени затухания y=0,9). Для этого достаточно, увеличивая (или уменьшая) к_р, добиться такого расположения КЧХ в комплексной плоскости, при котором W_pc(iw) коснется окружности с заданным индексом «М».

Задаваясь рядом значений Т_и и действуя вышеизложенным способом, находятся соответствующие величины коэффициентов усиления к_р, что позволяет построить в плоскости параметров настройки область заданного запаса устойчивости (рис. 1 – 68) и, следовательно, найти на границе этой области также параметры настройки регулятора, которые обеспечивают наилучшее качество переходного процесса. В частности, при низкочастотном характере возмущающих воздействий, оптимальные параметры настройки соответствуют отношению , а точка, соответствующая этому отношению, легко найдется, если провести из начала координат касательную к области заданного запаса устойчивости.

На основании вышеуказанного можно заключить, что расчет настройки систем с ПИ-регулятором сводится к следующему:

1. В комплексной плоскости строится комплексно-частотная характеристика регулируемого объекта – W_об(iw).

2. Графо-аналитическим методом, изложенным выше, находится область заданного запаса устойчивости системы управления.

3. Определяются в найденной области параметры настройки регулятора, обеспечивающие требование наибольшей точности работы системы управления.

4. Строится переходный процесс с целью проверки работоспособности системы управления при найденных оптимальных параметрах настройки регулятора.

На основании вышеизложенных методов настройки регуляторов (как по величине «т», так и по «М») в настоящее время разработаны и даются ряд рекомендаций по настройке промышленных систем управления приближенными методами [2, 3, 8, 9, 11]. Суть этих приближенных методов сводится к тому, чтобы в промышленных условиях, минуя сложные аналитические выкладки и громоздкие графо-аналитические построения, по известным динамическим свойствам объекта регулирования достаточно быстро и просто настроить регуляторы оптимальным образом.

Глава 2. Регуляторы и регулирующие органы теплотехнических процессов