Решение различных задач на плоскость

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями

Особые случаи расположения плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках

Пусть в пространстве задана плоскость и пусть фиксированная точка, а произвольная (текущая) точка этой плоскости. Посмотрим, какому уравнению будет подчинена произвольная точка плоскости Пусть вектор нормали к плоскости Так как то скалярное произведение

Мы получили

уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку с вектором нормали (1)

Раскроем в (1) скобки и обозначим Получим

общее уравнение плоскости:
Имеет место следующее очевидное утверждение.

Теорема 1. Любое линейное уравнение (2) задаёт в пространстве плоскость с вектором нормали И обратно: любая плоскость в описывается линейным уравнением (2).

Если числа не равны нулю, то уравнение называют “ уравнением плоскости в отрезках” (впредь кавычки будем опускать). При этом являются величинами (с учётом знака) отрезков, отсекаемых плоскостью от осей соответст-венно. Эта плоскость проходит через точки факт, удобный при изображении этой плоскости в пространстве. Из общего уравнения (2) плоскости легко получить ее уравнение в отрезках: (если, конечно, числа, записанные в знаменателях существуют).

Следующие утверждения проверяются непосредственно.

Если в общем уравнении (2) плоскости отсутствует переменная то эта плоскость параллельна оси Аналогичное утверждение справедливо относительно и других переменных

Если в общем уравнении (2) отсутствует свободный член то соответствующая плоскость проходит через начало координат

Простейшие уравнения являются уравнениями координатных плоскостей соответственно.

Пусть даны две плоскости Эти плоскости будут параллельны или перпендикулярны друг другу, если будут параллельны (соответственно перпендикулярны) их нормальные векторы Вспоминая условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, получаем следующие утверждения.

Замечание 1. Если то плоскости и совпадают.

Углом между двумя плоскостями называется двугранный угол между ними. Таких углов четыре, вертикальные из них попарно равны. Ясно, что один из них равен углу между нормалями и Используя скалярное произведение между векторами, найдем этот угол:

Другой двугранный угол будет равен

Используя скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, легко обосновать следующие утверждения.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно плоскости, имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно двум плоскостямимеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки не лежащие на одной прямой, имеет вид

Действительно, последнее равенство есть условие компланарности векторов а,значит, их смешанное произведение что и записано с помощью определителя выше.

5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано общее уравнение плоскости

Определение 1. Число где знак берется противоположным знаку

свободного члена называется нормирующим множителем плоскости Уравнение

называется нормальным уравнением плоскости

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если фиксированная точка, то её расстояние до плоскости вычисляется по формуле т.е. равно по модулю результату подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости

Пример 1. Найти расстояние от точки до плоскости

Решение. Нормирующим множителем для данной плоскости будет

Он противоположен по знаку свободному члену Значит, нормальное уравнение плоскости будет таким: а расстояние от точки до плоскости будет равным

Замечание 2. Величина называется отклонением точки от плоскости Можно показать, что если то точка и начало координат находятся по одну сторону от плоскости если же то точки и находятся по разные стороны от плоскости если же то Заметим также, что часто нормальное уравнение плоскости записывают в виде

где Тогда направляющие косинусы нормали к плоскости.

6. Прямая в пространстве

Прямой в пространстве называют линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Значит, прямая в пространстве задается системой уравнений

при условии отсутствия пропорциональности между коэффициентами линейных уравнений, входящих в систему (3). Однако наиболее распространенным уравнением прямой являются каноническое уравнение. Выведем его

Определение 2. Вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой.

Теорема 3. Если фиксированная точка прямой а направляющий вектор этой прямой, то любая точка связана уравнением

Уравнение (4) называют каноническим уравнением прямой

Доказательство. Вектор коллинеарен вектору = а, значит, их координаты пропорциональны, т.е. имеют место равенства (4). Если же точка не лежит на прямой то векторы

и не коллинеарны, поэтому равенства (4) не имеют места. Теорема доказана.

Если приравнять равные отношения (4) коэффициенту пропорциональности то получим уравнения

задающие прямую параметрически (здесь параметр). Изменяя мы получим все точки

прямой (например, при получает точку).

Как получить из системы уравнений (3) канонические уравнения прямой? Пусть произвольная точка, удовлетворяющая системе (3) (ее можно получить, например, фиксируя произвольным образом координату, а затем решить полученную систему уравнений с двумя неизвестными). Далее, векторы и перпендикулярно соответствующим плоскостям в (3), а, значит, векторное призведение параллельно их общей прямой – линии их пересечения. Отсюда следует, что направляющий вектор прямой. Поскольку

то кононическим уравнением прямой будет уравнение

Ясно, что углом между двумя прямыми и (точнее, одним из них; обычно берут острый угол) является угол между их направляющими векторами, поэтому

где направляющий вектор прямой а направляющий вектор прямой При этом если то угол между прямыми будет острый. Из последней формулы получаем следующие утверждения.

Используя полученные сведения о прямой и плоскости, можно без труда решать различные задачи аналитической геометрии. Решим, например, задачу о нахождении точки пересечения прямой (5) и плоскости (2). Подставляя равенства (5) в уравнение (2), получим уравнение решая которое, найдем параметр при котором происходит пересечение прямой и плоскости. Подставляя его в (5), найдем точку пересечения

Лекция 3. Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы специального вида. Квадратные матрицы и их определители. Свойства определителей. Обратные матрица и условие ее существования. Ранг матрицы

В теории систем линейных уравнений, в дифференциальных уравнениях и др. математичеких объектах большую роль играют матрицы – таблицы чисел, с помощью которых можно не только компактно записать системы уравнений, но и, производя над ними определенные действия, решать сами уравнения. Перейдем к изложению основных понятий и утверждений, связанным с матрицами.