Погрешности вычисления

f(x)-f(x₀)=df(x₀)+o(x-x₀) при х®х₀

∆f(x₀)»df(x₀), x»x₀

∆1=|∆f(x₀)|»|df(x₀)

f(x)=10^x в точке х₀=4, если |∆х|=0,001 х=4±0,001

10⁴±|∆|=10⁴±|23|

f’(x)=10^xln10; f’(4)=10⁴ln10=23000; ln10»2,2

|∆|»23000·0,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М₀ tg a>0; Справа от М₀ tg a<0

tga f’(x)>0 слева от М₀

tga f’(x)<0 справа от М₀

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема " xÎ(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

_a(|_x1 |_x2)_b

"x₁,x₂Î(a,b) x₁<x₂

Надо доказать: f(x₁)<f(x₂)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х₁,x₂)Теорема.

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁) где cÎ(x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)>0 Þ f(x₂)>f(x₁)