Тема: «Экстремумы»
Замечание:
Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.
y=(x-1)3
y’=3(x-1)2
y’(1)=0
x0=1
xÎO°-d(1)Þf(x)<0
xÎO°+d(1)Þf(x)<0
x=1 – не точка экстремума.
Теорема (Ролля):
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда $ сÎ(a,b): f(c)=0
Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)ºconst ("xÎ[a,b]) (const)’=0.
Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например M¹f(a):$ c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0
Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.
непрерывна на отрезке [a,b]
Геометрический смысл.
f’(x)=0, то касательная || оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.
Теорема Лангранджа:
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то $ сÎ(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)
|
|
Доказательство:
F(x)=f(x)+lx где l - пока неизвестное число.
F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции
f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.
Выберем число l, так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.
F(a)=f(a)+la
F(b)=f(b)+lb
F(a)=F(b) Þ f(a)-f(b)=l(a-b) Þ l=[f(b)-f(a)]/[b-a]
F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b] Þ $ cÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+l
0=f’(c)+l Þ f’(c)=-l=[f(b)-f(a)]/[b-a]
То есть на кривой которая наклонена
к оси х под таким же углом как и секущая
[f(b)-f(a)]/[b-a]=tga=f(x) $ cÎ(a,b)
Замечание:
Часто точку с можно представить в
нужном виде:
с=х0+q∆х
0<(c-x0)/(x-x0)= q<1
c-x0=q(x-x0)
c=x0+q(x-x0)1
f(x)-f(x0)=f’(x0+q∆x)(x-x0)
0<q<1
∆f(x0)=f’(x0+q∆x)∆x
Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)
Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О°(х0). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 – точка экстремума. Если меняет знак:
с + на – то это точка максимума
с – на + то это точка минимума
Доказательство: " х1 Î О°-(х0) на [x1,x0]; $ c1Î(x1,x0) f(x0)-f(x1)=f’(c1)(x0-x1) Þ f(x0)>f(x1) "x1ÎO°-(x0)
" х2 Î О°+(х0) на [x0,x2]; $ c2Î(x0,x2) f(x2)-f(x0)=f’(c2)(x2-x0) Þ f(x2)<f(x0) "x2ÎO°+(x0)
f(x0)>f(x) "xÎO°(x0) Þ точка х точка максимума.
Если в точке х0 существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.
Принцип решения подобных задач:
Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].
|
|
Ход решения:
1) Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x) $ x1, xn
2) Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x1)….f(xn)
3) Выбираем наибольшее и наименьшее m£f(x)<M
Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.