Практическое занятие 7

Примечание.

Приложение 2. Практические занятия.

Требования к качеству экспериментов для возможности их планирования.

Приложение 1.

Таблица 4. Критерий Пирсона (согласия) c2: значения,соответствующие значениям Р(c2) и числам степеней свободы N.

Таблица 2. Критерий Стьюдента t: Значения t при данном числе степеней свободы N и данной величине вероятности (уровне значимости) Р.

ПРИЛОЖЕНИЯ

_х

Таблица 1. Функция Лапласа Ф(х)=[1(2p)^1/2]òехр(-х²/2) dх

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
0,00		0,70	0,2580	1,40	0,4192	2,10	0,4821
0,05	0,0199	0,75	0,2734	1,45	0,4265	2,20	0,4861
0,10	0,0398	0,80	0,2481	1,50	0,4332	2,30	0,4893
0,15	0,0596	0,85	0,3023	1,55	0,4394	2,40	0,4918
0,20	0,0793	0,90	0,3159	1,60	0,4452	2,50	0,4938
0,25	0,0987	0,95	0,3289	1,65	0,4505	2,60	0,4953
0,30	0,1179	1,00	0,3413	1,70	0,4554	2,70	0,4965
0,35	0,1368	1,05	0,3531	1,75	0,4599	2,80	0,4974
0,40	0,1554	1,10	0,3643	1,80	0,4641	2,90	0,4981
0,45	0,1736	1,15	0,3749	1,85	0,4678	3,00	0,49865
0,50	0,1915	1,20	0,3849	1,90	0,4713	3,20	0,49931
0,55	0,2088	1,25	0,3944	1,95	0,4744	3,40	0,49966
0,60	0,2257	1,30	0,4032	2,00	0,4783	3,60	0,49984
0,65	0,2422	1,35	0,4115	2,06	0,4803	4,00	0,499968

N	Р= 0,10	P= =0,05	P= =0,02	Р= 0,01	N	Р= 0,10	P= =0,05	P= =0,02	Р= =0,01
	6,31	12,704	31,821	63,7		1,80	2,201	2,718	3,11
	2,92	4,303	6,965	9,93		1,78	2,179	2,681	3,06
	2,35	3,182	4,541	5,84		1,77	2,160	2,650	3,01
	2,13	2,778	3,747	4,60		1,76	2,145	2,624	2,98
	2,02	2,571	3,365	4,03		1,75	2,131	2,602	2,95
	1,94	2,447	3,143	3,71		1,75	2,120	2,583	2,92
	1,90	2,365	2,998	3,50		1,74	2,110	2,567	2,90
	1,86	2,306	2,896	3,36		1,73	2,086	2,528	2,85
	1,83	2,262	2,821	3,25		1,71	2,060	2,485	2,79
	1,81	2,288	2,764	3,17		1,70	2,042	2,457	2,75

- 31 -

Таблица 3.Критерий Фишера: значения F=S₁²/S₂² при Р=0,05 N₁- число степеней свободы (для числителя); N₂- число степней свободы для знаменателя.

N₂	N₁=1	N₁=3	N₁=5	N₁=20
	161,4	215,70	230,2
	18,51	19,16	19,30	19,4
	10,13	9,28	9,01	8,66
	7,71	6,59	6,26	5,80
	6,61	5,41	5,05	4,56
	5,59	4,35	3,97	3,44
	5,32	4,07	3,69	3,15
	5,12	3,86	3,48	2,94
	4,96	3,71	3,33	2,77
		3,49	3,00	2,54

N	Р=0,95	P=0,05	P=0,02	N	Р=0,95	P=0,05	P=0,02
	0,0039	3,841	5,412		3,32	16,919	19,679
	0,103	5,991	7,824		3,94	18,307	21,161
	0,352	7,815	9,837		7,3	24,996	28,259
	0,71	9,488	11,668		10,9	31,410	35,020
	1,14	11,070	13,388		14,6	37,652	41,566
	2,17	14,067	16,622		18,5	43,773	47,962

Литература

1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии.М.,Высщая школа, 1985 г.

2. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии.М.,Химия,1976 г.

3.Глудкин О.П. и др. Статистические методы в технологии производства РЭА, М.,Энергия,1977 г.

4. Джонсон Н.,Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы планирования эксперимента.М.,Мир,1981 г.

5.Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В., Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.М.,Наука,1976 г.

Успешное применение методов планирования экспериментов возможно только тогда, когда опыты являются воспроизводимыми, а выборочные дисперсии однородными. Чтобы в этом убедиться, необходимо:

1. Определить среднее по результатам параллельных измерений

Y =SY_ij/m; i=1,2,..n и j=1,2,..m

2. Определить выборочные дисперсии

S_i² =S(Y_cpij -Y_icp)² /(m-1)

3.Найти сумму выборочных дисперсий S²_сум =SS_i²

4. Составить отношение G=S²_max/S²_сум, в числителе - максимальное значение выборочной дисперсии. G-расчетное значение критерия Кохрена.

Если рассчитанное

G<G_табл. (N,f), (*)

то можно с вероятностью 1-a принять гипотезу о воспроизводимости опытов и об однородности дисперсий.

Обычно берут a=0,05. При m=3 и n=10 G_табл =0,445.

Если условие (*) не выполняется, то, возможно, что опыт, имеющий

максимальную дисперсию, поставлен неправильно и его надо переделать.

5. Если выборочные дисперсии однородны, то рассчитывают оценку

воспроизводимости S_вос² =SS_i /N

6. Находят среднеквадратичную оценку дисперсии

воспроизводимости S=(S_вос²)^1/2.

Практическое занятие 3

Оценка расхождений между средними значениями

Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n₁и n₂ взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X₀ и дисперсию s².

Пусть оценки дисперсии S₁ и S₂ и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность X_cp1 и X_cp2, дисперсия которой равна

s₁²/n₁+s₂²/n₂ = (n₁ + n₂)s² /n₁n₂

Так как оценки S₁² и S₂² дисперсии s² имеют вес n₁ -1 и n₂ -1, то полная оценка дисперсии s² будет равна

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [S(X-X_cp)² +S(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp₁)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂)]^0.5

Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n₁+n₂ -2.

В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при n=18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.

Практическое занятие 4

Расчет доверительных границ. Оценка брака.

Рассчитаем по результатам выборки контрольных параметров, какой ожидается процент изделий не соответствующих заданным параметрам – процент брака. В соответствии с техническими условиями показатель качества должен быть x±z (например, 25±5).

Задача формулируется следующим образом: Найти вероятность того, что абсолютное отклонение Δх=Х-Хср не превзойдет заданного числа z (5). Чтобы от естественных значений х перейти к нормализованным Х, нужно использовать табличные значения Ф(Х), требуется провести нормализацию

Х=(х-хср)/Sx..

По результатам 15 испытаний рассчитаем S и Хср.

Вероятность противного события Р(Δх<=5)=2Ф(5/σ)=Y. Поэтому Р(Δх>=5)=1-Y.

2Ф(5/2,36)=2*0,482=0,964 Р=1-0,964=0,036 или Р=3,6%

Практическое занятие 5.

Оценка дисперсий. Критерий Фишера.

Пусть есть две независимых совокупности со средними значениями Х1 и Х2.Оценки дисперсий S1 и S2. Необходимо оценить, являются ли эти совокупности существенно различными или эти данные взяты из общей совокупности с дисперсией σ.

Для этого используют критерий Фишера F=S₁²/S₂². По Таблице критериев F Фишера находим отношение. Eсли рассчитанное значение F меньше табличного, то нет основания считать, что разница в разбросе данных (в совокупностях) существенна.

Первое задание посвящено сравнительному анализу дисперсий. Существенная разница дисперсий говорит о плохих методиках измерений, в результате которых были получены экспериментальные данные, или о плохой квалификации лаборантов, которые эти данные получили, или о несовершенстве технологий получения образцов (либо изделий), с помощью которых эти образцы были получены.

Второе задание посвящено сравнительному анализу самих результатов. Существенная разница между результатами Х указывает на то, что химический состав образцов (изделий) разный, либо говорит о разных технологиях их изготовлений.

Соответствующую оценку проводят, используя критерий Стьюдента t.

Сначала рассчитывают суммарную среднеквадратичную погрешность S²

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [S(X-X_cp)² +S(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

а затем рассчитывают значение критерия t.

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp₁)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂)]^1/2

Если значение t превышает допустимое табличное, значит расхождение существенное.

Табличное значение F при вероятности 5% и при количестве результатов испытаний n1=n2=12 составляет F=2,54.

Табличное значение t при вероятности 5% и при количестве результатов испытаний n1=n2=12 составляет t=2,201.

Пример задания: Два столбца цифр – результаты проведения двух серий испытаний. Следует рассчитать средние значения Хср1 и Хср2, затем среднеквадратичные погрешности S1 и S2 и далее провести расчеты F и t как указано выше.

Практическое занятие 6.

Оценка воспроизводимости. Выявление и исключение грубых ошибок.

Перед тем, как сравнивать серии результатов экспериментов, следует установить, нет ли среди результатов грубых ошибок.

Для этого полезно расположить все результаты в порядке возрастания и выделить результат существенно отличающийся от всех остальных.

Затем для резко выделяющегося результата Хв рассчитывают значение

Q=(Хв-Х)/R гдн Х – соседнее значение и R- размах варьирования R=Хмах-Хмин

Если рассчитанное Q больше табличного для выбранного уровня значимости при числе параллельных наблюдений n, то значение Хв может быть отнесено к анормальному, его следует либо перемерить, либо исключить из ряда экспериментальных данных.

Таблица. Значения Q для оценки резко выделяющихся наблюдений при различных уровнях значимости α

Число наблюдений n	α=0,01	Α=0,05	α =0,1
	0,99	0,94	0,89
	0,76	0,64	0,56
	0,58	0,48	0,40

Перед тем, как перейти к планированию экспериментов следует оценить качество методик, по которым будут проводиться эксперименты.

Для этого следует оценить однородность дисперсий результатов. (См. Практическог занятие 5) и провести оценку воспроизводимости.

Для этого следует провести n независимых серий экспериментов, в каждой серии содержится m опытов. Для каждой серии следует рассчитать средние значения

Хср= ΣXi/m

рассчитать выборочные дисперсии

Si²=Σ(Xcp-Xi)²/(m-1)

Рассчитать суммарную величину дисперсий по результатам n серий

Scум²= Σ Si²

Найти отношение максимальной дисперсии из n серий к сумме дисперсий из числа всех серий

G=Simax²/Scум²

И сравнить полученное экспериментальное значение критерия Кохрена G с табличным G при m сериях по n экспериментов в каждой серии.

Если экспериментальное значение G меньше табличного (при вероятности 0,05) Gэксп<Gтаб, то это значит, что эксперименты удовлетворительно воспроизводятся и это заключение верно с вероятностью 95%.

Пример. Имеются три серии экспериментальных результатов

Корреляция. Расчет уравнения регрессии.

Методом наименьших квадратов найти уравнение вида Y=b_о +b₁X, наилучшим образом описывающую положительную регрессионную зависимость Y от X.

Для этого составляем систему уравнений:

Sy_i - S(b +b₁X) = 0 ¶Ф/¶b₀= S(y_i-(b₀+b₁x_i)) = 0

Sx_iy_i - S(b₀+b₁x_i) =0 ¶Ф/¶b₁= S(y_i-(b₀+b₁x_i)x_i) = 0