Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пусть производится несколько испытаний, в результате которых может появиться событие А с определенной вероятностью. Если вероятность А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания – независимые относительно события А.

Пусть требуется определить вероятность того, что в результате проведения n независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью Р(А)=p. Определить вероятность того, что в результате n независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз, если в каждом из этих испытаний событие наступает с постоянной вероятностью.

Решение: Искомую вероятность будем обозначать или . Непосредственное применение теорем сложения и умножения вероятностей для решения поставленной задачи с увеличением числа испытаний, приводит к очень грамостким вычислениям, поэтому возникает необходимость применения менее долгоемких способов расчета. Один из таких способов основан на применении формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли:

Предположим, в одинаковых условиях производится n незавсимых испытаний, результатом каждого из которых может быть наступление события А с вероятностью P(A)=p либо ему противоположного c вероятностью P () =1-p.

Обозначим через наступление события А в i- том испытании. В силу постоянства условий испытания:

Вероятность того, что событие А при n испытаниях наступает ровно m раз, а в оставшихся n-m испытаниях наступит ему противоположное . При этом событие А в n испытаниях может появиться ровно m раз в разных последовательностях, число которые равно .

Событие В – это событие, при котором событие А наступит ровно m раз

По условию испытания независимы. Это значит, что независимые события, входящие в эту комбинацию, поэтому используюется теорема умножения для независимых событий, получим:

Т.к. все комбинации событий подобные комбинации В являются несовместными событиями и нам безразлично в какой именно последовательности появится событие А и в какой именно последовательности появится , то применяя теорему сложения вероятностей:

- Формула Бернулли

Формула Бернулии применяется в задачах, связанных с повторением опыта при одинаковых условиях. Т.к. события, состоящие в различном числе появления А в серии из n испытаний несовместны и образуют полную группу, то сумма вероятностей из n по m

Биноминальное распределение позволяет ввести для вычисления вероятностей возможно числа наступлений события А серии из n независимых испытаний, так называемую, производящую функцию:

Эта функция обладает тем свойством, что коэффициент при в этом разложении равен вероятности наступления события А ровно m раз из n независимых испытаний, проводимых в постоянных условиях.

Если условия переменны:

Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется число, для которого вероятность превышает n по крайней мере не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов.