Свойства непрерывной случайной величины

1. .

Доказательство вытекает из определения.

2. Плотность распределения p(x) определяет закон распределения непрерывной случайной величины

.

Это свойство также следует из определения плотности р(х).

3. Для любых х₁ < х₂ , .

Доказательство. По свойству функции распределения .

4. .

Доказательство: .

6. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю, т.е.

P (X = a) = 0.

Доказательство. Событие можно представить как . События A_n = a £ Х < a + удовлетворят условиям аксиомы непрерывности

A ₁ É A ₂ É…É A_n É…, .

Тогда, применив аксиому, получим

.

Из этого свойства следует, что Р(a<X<b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = P(a≤X≤b).

7. Если x – точка непрерывности p (x) и если Δ→0, то

.

Из этого свойства следует, что чем больше значение плотности p (x), тем больше вероятность попадания случайной величины в интервал (x; x + ∆).

Плотностью распределения может быть любая неотрицательная функция, интеграл от которой по всей числовой прямой равен 1, т.е. .

Функция распределения случайной величины любой точке x_p ставит в соответствие вероятность р = F (x_p) = P (X < x_p), т.е. по x_p найти F (x_p). В иных случаях требуется решение обратной задачи ¾ по значению вероятности р найти решение уравнения F (x_p) = р.

Определение 3. Точка x_p, которая является решением записанного уравнения, называется квантилью,отвечающей заданному уровню вероятности р, или р % квантильюраспределения F(x).

Из определения непрерывной случайной величины следует, что функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна. Поэтому для непрерывной случайной величины для любого р, 0 < p < 1 существует квантиль х_р.

Определение 4. Квантиль, отвечающая вероятности р = ½, называется медианой распределения.

Медиана является одной из характеристик центра распределения случайных величин.